第四章方阵特征值和特征向量的计算

对 n 阶方阵，若存在常数（可能是复数）和 n 维非零向量（分量可能是复数），满足，则称为的一个特征值，称为的对应于特征值的特征向量。
特征值和特征向量具有如下性质：

特征方程；特征向量不唯一。
若是的特征值，是的某一多项式，则矩阵的特征值为。特别地，的特征值为；若可逆，则是的特征值，相应的特征向量保持不变。
若为实对称矩阵，则的所有特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量相互正交；且存在正交矩阵，使得，其中，且的第列是所对应的特征向量。
若，则称与相似，相似矩阵具有相同的特征值。

4.1 乘幂法

乘幂法

用于求解矩阵按模最大特征值及其对应的特征向量。

设 n 阶矩阵具有 n 个线性无关的特征向量，相应的特征值满足 ,则对任取的非零向量，由可产生一个向量序列。

对上述向量序列有：

1) ()；
2).

其中是所对应的特征向量，表示的第个分量。

改进的乘幂法

设为非零向量，将其规范化得到向量，其中表示向量的模为最大的分量。

取初始向量，规范化得到，构造向量序列：
$\upsilon_1=Au_0=\frac{A\upsilon_0}{max(\upsilon_0)},u_1=\frac{\upsilon_1}{max(\upsilon_1)}=\frac{A\upsilon_0}{max(A\upsilon_0)}\\ \upsilon_2=Au_1=\frac{A^2\upsilon_0}{max(A\upsilon_0)}, u_2=\frac{\upsilon_2}{max(\upsilon_2)}=\frac{A^2\upsilon_0}{max(A^2\upsilon_0)}\\ \cdots\cdots\\ \upsilon_{k}=Au_{k-1}=\frac{A^k\upsilon_0}{max(A^{k-1}\upsilon_0)}, u_k=\frac{\upsilon_k}{max(\upsilon_k)}=\frac{A^k\upsilon_0}{max(A^k\upsilon_0)}$
则有：

常取初始向量。

例子
求矩阵

的按模最大特征值和对应的特征向量。

解

$\begin{array}{l|lcr|lcr|r} k&\ &\upsilon_k^T &\ &\ &\upsilon_k^T &\ &\ \\ \hline 0&1.000&1.000&1.000&1.0000&1.0000&1.0000 &\ \\ \hline 1&2.000&3.000&9.000&0.2222&0.3333&1.0000&9\\ \hline 2&1.889&4.556&6.333&0.2982&0.7193&1.0000&6.333\\ \hline \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots\\ 10&1.393&4.444&5.013&0.2779&0.8865&1.0000&5.013\\ \hline 11&1.391&4.444&5.008&\ &\ &\ &5.008\\ \hline \end{array}$

，而精确解为。

反幂法

用于求矩阵的按模最小特征值及其对应的特征向量。

用乘幂法求出的按模最大特征值和对应的特征向量，就可以获得的按模最小特征值和对应的特征向量。

任取初始非零向量，构造向量序列：

则有：

其中，方程组可通过矩阵三角分解的方法进行求解，进而得到向量序列。

例子
求矩阵

的按模最大特征值和对应的特征向量。

解
第一步：做的分解，得到：

第二步，迭代求解：

$\begin{array}{l|lcr|r} k&\ &u_{k-1}^T &\ &\lambda\\ \hline 1&1.000&1.000&1.000&-0.5556\\ \hline 2&-0.3704&-1.000&-0.037006&-1.626\\ \hline \vdots&\ &\vdots &\ &\vdots\\ \hline 9&0.5003&1.000&-0.0004924&-0.9990\\ \hline 10&-0.5000&-1.000&0.00001854&-1.000 \end{array}$

即：。
该问题的精确解为：。

4.2 Jacobi 方法

Jacobi 方法用于求解实对称矩阵的所有特征值和对应的特征向量。

平面旋转矩阵

对平面上的双曲线可作正交相似变换
$\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) =\left(\begin{array}{lr} cos \frac{\pi}{4}&-sin \frac{\pi}{4}\\ sin \frac{\pi}{4}&cos \frac{\pi}{4} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}u\\ \upsilon \end{array}\right)$

可将其约化为实轴和虚轴均在坐标轴上的标准形式： .

对一个实对称矩阵实施正交相似变换可以将其约化为对角矩阵。

Jacobi 方法就是利用一系列特殊的正交相似变换，逐次将实对称矩阵约化为对角矩阵。

得到的对角矩阵的主对角元素就是所求的特征值，而用于正交相似变换的正交矩阵的各列就是相应的特征向量。

平面旋转矩阵：
$S_k=S(p,q)= \left(\begin{array}{lccccr} 1&\ &\ &\ &\ &\ \\ \ &\ddots&\ &\ &\ &\ \\ \ &\ &cos\theta_k&\cdots&sin\theta_k&\ \\ \ &\ &\vdots&\ &\vdots&\ \\ \ &\ &-sin\theta_k&\cdots&cos\theta_k\\ \ &\ &\ &\ &\ &\ddots &\ \\ \ &\ &\ &\ &\ &\ &1 \end{array}\right)$

平面旋转矩阵也称为 Gicens 矩阵，其几何意义是由其定义的线性变换，使得 n 维空间的第个坐标轴和第个坐标轴所构成的坐标平面旋转了的角度。平面旋转矩阵是正交矩阵，并且变换只改变了矩阵A 的第 p 行、第 p 列，和第 q 行、第 q 列的元素。

古典 Jacobi 方法

例子
用古典 Jacobi 方法求矩阵 A 的全部特征值和特征向量，误差限为 0.0005.

解
第一步：将矩阵 A 中的化为 0，有

第二步，将矩阵中的化为 0，有

第三步，将矩阵中的化为 0，有

重复上述过程有：

$T_5=\left(\begin{array}{lcr} -0.016647&0.000409&0.000005\\ 0.000409&1.4801&0\\ 0.000005&0&2.5365 \end{array}\right),\\ Q=S_1S_2S_3S_4S_5=\left(\begin{array}{lcr} 0.72135&0.44404&0.53584\\ -0.68616&0.56234&0.46147\\ -0.093844&-0.69757&0.71033 \end{array}\right)$

由此得到的误差限为 0.05% 的三个近似特征值为：。

对应的近似特征向量为：

Jacobi 过关法

4.3 QR 方法

QR 方法可用于求解一般矩阵的全部特征值。

Householder 变换

设是 n 维列向量，且，称矩阵为 Householder 矩阵，也称为镜像变换矩阵。

对 n 维向量 x,y，若，则存在镜像矩阵 H，使得。

LR 分解

LR 方法是目前求解矩阵所有特征值的最有效方法。

对作分解，其中非奇异，反序相乘有。又作分解，其中非奇异，反序相乘有。

产生矩阵序列，满足：

由可知，矩阵序列是相似矩阵序列，因此它们具有相同的特征值。

例子
用 LR 方法求对称正定矩阵的所有特征值。

解
对 A 使用 Cholesky 分解得到：

反序相乘得到：

若干次分解并反序相乘得到：

QR分解

2020-04-25

第四章方阵特征值和特征向量的计算

4.1 乘幂法

4.2 Jacobi 方法

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