递归与回溯

递归与回溯

一、递归与回溯的区别

个人理解：
递归的定义：

• 递归是此时的状态会用用到自己上一个状态的值；

回溯的定义

• 回溯是进行一步一步的探索，当下一个状态走完时会回到上一个状态继续寻找其他的状态，相当于一种穷举式的搜索

二、递归

递归的相关运用：搜索，排序，遍历

递归和迭代的区别：
递归：

• 遇到基本条件时会终止
• 每次递归都需要开辟帧栈耗费内存
• 如果无休止的递归下去会发生栈溢出错误
• 有些问题用递归会更简单一些

迭代：

• 会在相关条件不成立时终止
• 执行每一次迭代时不需要开辟额外内存
• 由于不需要开辟新的内存可以一直迭代下去
• 某些问题的迭代解法不如递归法那样直观

实例一：
阶乘问题：输入n数返回n的阶乘。
用递归方法就很直接，简单：

public int Factorial（int n){
	if(n == 0){
	return 1;
	}
	if(n == 1){
	return 1;
	}
	else {
	return n*Factorial(n-1);
	}
}

递归的注意事项：

• 递归有递归情况和基本情况
• 所有递归情况都会归结到基本情况
• 递归的效率一般低于迭代，因为需要开辟帧栈耗费内存
• 递归算法可以用栈来实现，但会产生更多的问题，不太值得
• 能用递归解决的问题也同样能用迭代解决

递归的算法举例：

• 斐波那契数列（斐波那契堆），阶乘
• 归并排序，快速排序
• 二分搜素
• 树的遍历（树的先序，中序，后序遍历）
• 图的遍历（深度游戏搜索（DFS）广度优先搜索（BFS））
• 一些动态递归问题（Dynamic Programing）
• 分治算法
• 汉诺塔
• 回溯算法

实例二：
汉诺塔问题：有三根圆柱，把一根柱上的圆盘移到另一个目标圆柱上去，圆盘的摆放规则为小圆盘不能放在大圆盘上。

分析：这是一个很经典的问题，老师上课就是讲的这个例题，几乎每本算法书上都会有这个问题。
先把三根圆柱分为源柱，目标柱和辅助柱。要把源柱上的圆盘移到目标柱上去，需要先把最底层的圆盘移到目标柱上去，就要先把n-1块圆盘按圆盘摆放规则移到辅助柱上去，才能移动最底下那层，然后把辅助柱当成原来的源柱，把源柱当成辅助柱，继续递归下去，把此时的问题化为小一个规模的汉诺塔问题。

代码为：

public void TowerOfHanoi(int n,char Source,char Destination,char Auxiliary){
	if(n == 1){
		直接把源柱上的圆盘移到目标柱上去；
	}
	//把A柱上的n-1个圆盘移到C柱上，让A柱上的最后一块移到目标住上去
	TowerOfHanoi(n-1,Source,Destination,Auxiliary);
	//把C柱上的n-1块圆盘移到A柱上，让C柱上的最后一块移到目标柱上去
	TowerOfHanoi(n-1,Auxiliary,Destination,Source);
}

示例三：

判断一个数组是否已经按从从小到大的顺序排列
分析：把数组的下个数据对比，重复返回；

代码：

public Boolean isSort(int []num,int n){//n为数组长度
	if(n == 1){
		return true;	
	}
	else{
		return (num[n-1] <= num[n-2])?false:isSort(num,n-1);	
	}
}

三、回溯

回溯算法举例：

• 二进制串，含有n位的二进制数能组成多少种不同的二进制串
• 生成一定数量的字符串所构成的全部字符串，字符串可以从k中选
• 背包问题
• 生成一般字符串
• 哈密尔顿回路
• 图染色问题

示例一：

含有n位的二进制数能组成多少种不同的二进制串

分析：采用回溯算法进行穷举

代码：

int arr[] = new arr[];//设数组为全局变量，且长度等于n
public void Binary(int n){
	if(n < 1){
		输出arr;
	}
	else{
		arr[i-1] = 0;
		Binary(n-1);
		arr[i-1] = 1;
		Binary(n-1);	
	}
}

实例二：

生成长度为n的字符串，从k个字符,即从0到k-1去选

分析：用回溯去穷举每个字符串可能的结果

代码：

int []arr = new arr[];
public int k-string(int n,int k){
	if( n == 1){
	print("arr")
	}else{
		for(i = 0; i < k; i++){
			arr[n-1] = i;
			k-string(n-1,k);	
		}	
	}
}