matlab利用SVD求解线性方程组

题目：利用svd求解非齐次线性方程组

SVD基本原理

https://blog.csdn.net/Ansel_Lee/article/details/107643789
https://blog.csdn.net/didi_ya/article/details/108895122
解非齐次线性方程组 $(Ax=b)$，问题等价于 $\min \Vert \mathbf{Ax}-\mathbf{b}{\Vert }^2$ ，是一个非线性优化问题。

• 对A进行SVD分解
  min ⁡ ∥ A x − b ∥ 2 = min ⁡ ∥ U D V T x − b ∥ 2 = min ⁡ ∥ D V T x − U T b ∥ 2 \begin{gathered} \quad \min \|\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\|^2 \\ =\min \left\|\boldsymbol{U} \boldsymbol{D} \boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\right\|^2 \\ =\min \left\|\boldsymbol{D} \boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{U}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}\right\|^2 \end{gathered} min∥Ax−b∥2=min ​UDVTx−b ​2=min ​DVTx−UTb ​2​
• 重新表述方程组
  设 $\mathbf{y}={\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x},\mathbf{c}={\mathbf{U}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}$, 则 min ⁡ ∥ D V T x − U T b ∥ 2 \min \left\|\boldsymbol{D} \boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{U}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}\right\|^2 min ​DVTx−UTb ​2 可以表述为 $\mathbf{D}\mathbf{y}=\mathbf{c}$
• 方程组的解
  方程组$\mathbf{D}\mathbf{y}=\mathbf{c}$ 的解为
  $${\mathbf{y}}_{\mathrm{i}}={\mathbf{c}}_{\mathrm{i}}/{\mathbf{d}}_{\mathrm{i}},i=1,2,...n$$
  即：
  ( d 1 d 2 ⋱ d n 0 ) ( y 1 y 2 ⋮ y n ) = ( c 1 c 2 ⋮ c n c n + 1 ⋮ c m ) \left( \begin{matrix} d_1& & & \\ & d_2& & \\ & & \ddots& \\ & & & d_n\\ \hline & & & \\ & & 0& \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\\ \hline c_{n+1}\\ \vdots\\ c_m\\ \end{array} \right) ​d1​​d2​​⋱0​dn​​​ ​ ​y1​y2​⋮yn​​ ​= ​c1​c2​⋮cn​cn+1​⋮cm​​​ ​
  则非齐次线性方程组 $(Ax=b)$的解为$${\left({\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\mathbf{y}=\mathbf{x}$$

svd求解非齐次线性方程组代码

function x = svd_solve(A,b)
[U,D,V] = svd(A);
c = U'* b;
y=[];
for i=1:length(D)
    yy = c(i)/D(i,i);
    y=[y;yy];
end
x = inv(V')*y;
end

• 结果

%% 第一个方程组解和条件数
A1 = [1 2 5;2 4 6;6 1 2];
b1 = [1 2 3]';
x = svd_solve(A1,b1);
cond_A1 = cond(A1);
disp('第一个方程组解为:');
disp(x);
disp('第一个方程组条件数为:');
disp(cond_A1);

%% 第二个方程组解和条件数
A2 = [1,2,5;2000,4000,6000;6,1,2];
b2 = [1,2,3]';
y = svd_solve(A2,b2);
cond_A2 = cond(A2);
disp('第二个方程组解为:');
disp(y);
disp('第一个方程组条件数为:');
disp(cond_A2);