线性代数 复矩阵

一.复向量与复矩阵
1.复向量的模长:

设列向量$z\in C^n$,则$|z|={\bar{z}}^T\cdot z$,记为$|z|=z^H\cdot z$
注:z.bar表示取z的共轭;^H表示取共轭并转置

2.复向量的内积:

设列向量$x,y\in C^n$,则$<x,y>=x^H\cdot y$
#当x=y,内积就是x的模长
特别地,若$<x,y>=x^H\cdot y=0$,则复列向量$x,y$正交

3.埃尔米特矩阵(Hermite Matrix):

如果复矩阵$A$满足$A^H=A$,则称$A$为埃尔米特矩阵
#(实)对称矩阵是埃尔米特矩阵中元素全为实数时的特殊情况

性质:
1.埃尔米特矩阵对角线上的元素一定是实数
2.特征值均为实数,可以找到1组特征向量两两正交
3.埃尔米塔矩阵是方阵

4.酉矩阵(Unitary Matrix):

若复矩阵$Q$满足$Q^H\cdot Q=I$,则称$Q$为酉矩阵
注:(实)正交矩阵是酉矩阵中元素全为实数时的特殊情况

性质:
1.酉矩阵的列向量组为单位正交复向量组
2.酉矩阵是方阵

二.傅里叶矩阵
1.傅里叶矩阵(Fourier Matrix):

$n$阶傅里叶矩阵记为$F_n$
$$\begin{gathered} F_n=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& W& W^2& ...& W^{n-1}\\ 1& W^2& W^4& ...& W^{2(n-1)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& W^{n-1}& W^{2(n-1)}& ...& W^{(n-1{)}^2}\end{array}\right] \\ =(W_{ij}{)}_n(i,j=1,2...n-1,W_n=e^{i\frac{2\Pi }{n}}) \end{gathered}$$

性质:
1.傅里叶矩阵是1种特殊的酉矩阵,故其列向量组正交
注:$\frac{F_n}{\sqrt{n}}$的列向量是单位正交向量组
2.$W^k$的几何意义见下图
3.$F_n^{-1}=F^H$

以4阶傅里叶矩阵为例:
$$\begin{gathered} F_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& i^2& i^3\\ 1& i^2& i^4& i^6\\ 1& i^3& i^6& i^9\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& -1& -i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -i& -1& i\end{array}\right] \end{gathered}$$

2.傅里叶变换(Fourier Transform):

对1个n维向量进行傅里叶变换相当于左乘$F_n$,进行傅里叶逆变换相当于左乘$F_n^{-1}$

3.快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform):

$$\begin{gathered} F_{4n}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{2n}& D_{2n}\\ I_{2n}& -D_{2n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_{2n}& \\ & F_{2n}\end{array}\right]P_{2n} \\ =\left[\begin{array}{cc}{I}_{2n}& D_{2n}\\ I_{2n}& -D_{2n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{I}_n& D_n& & \\ I_n& D_n& & \\ & & I_n& D_n\\ & & I_n& D_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{F}_n& & & \\ & F_n& & \\ & & F_n& \\ & & & F_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{P}_n& \\ & P_n\end{array}\right]P_{2n} \\ =... \end{gathered}$$

注:①两个修正项分别为:
$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 4& & ...& \end{array} \\ {P}_{2n}=\left[\begin{array}{cccccccc}1& & & & & & & \\ & & 1& & & & & \\ & & & & ...& & & \\ & & & & & & 1& \\ & 1& & & & & & \\ & & & 1& & & & \\ & & & & & ...& & \\ & & & & & & & 1\end{array}\right]\begin{array}{c}1\\ 2\\ ...\\ 2n\\ 2n+1\\ 2n+2\\ ...\\ 4n\end{array} \end{gathered}$$
$D_{2n}=\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ & W& & & \\ & & W^2& & \\ & & & ...& \\ & & & & W^{2n-1}\end{array}\right]$
②将1个$n$阶傅里叶矩阵完全分解后,计算次数将从$n^2$降低到$\frac{n}{2}lo{g}_{2}n$次