MATLAB 线性规划

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什么是线性规划问题

线性规划问题是指在一组线性不等式约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

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如何使用 MATLAB 解决线性规划问题

常见的线性规划问题通常类似于以下形式：

$$\begin{array}{c}\max Z=4000x_1+3000x_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}2x_1+x_2\le 10\\ x_1+x_2\le 8\\ x_2\le 7\\ x_1,x_2\ge 0\end{array}\end{array}$$

其中，公式1为目标函数，公式2为约束条件。

为了便于求解，我们可以将公式1和公式2分别写成矩阵形式：

$$\begin{array}{c}\max Z=\left[\begin{array}{cc}4000& 3000\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\end{array}$$
 s.t.  { [ 2 1 1 1 0 1 ] ⋅ [ x 1 x 2 ] ≤ [ 10 8 7 ] x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} 10 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. ⎩ ⎨ ⎧​ ​210​111​ ​⋅[x1​x2​​]≤ ​1087​ ​x1​,x2​≥0​​​

为了统一最大目标函数问题和最小目标函数问题，我们将目标函数的符号取反，即：

$$\begin{array}{c}\min -Z=\left[\begin{array}{cc}-4000& -3000\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\end{array}$$

公式5和公式4这种形式就满足 MATLAB 线性规划的标准形式：

$$\underset{x}{\min }{f}^{T}x\text{ such that }\{\begin{array}{c}A\cdot x\le b,\\ Aeq\cdot x=beq,\\ lb\le x\le ub\end{array}$$

其中，$f^{T}x$为目标函数，$A$为约束条件的系数矩阵，$b$为约束条件的常数项，$Aeq$为等式约束条件的系数矩阵，$beq$为等式约束条件的常数项，$lb$为变量的下界，$ub$为变量的上界。

问题转换成标准形式后，我们就可以使用 MATLAB 的 linprog 函数来求解了。

linprog 函数的语法为：

[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中，$x$为求解得到的最优解，$fval$为最优解对应的目标函数值。

最开始的问题就可以用以下代码解决：

f = [-4000 -3000];
A = [2 1; 1 1; 0 1];
b = [10; 8; 7];
lb = [0; 0];

[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);
fval = -fval; % 因为目标函数取反了，所以这里要取反

最后得出的结果为：

x =
    2.0000
    6.0000

fval =
    26000

附加题

让我们运用上文的方法求解以下线性规划问题：

$$\begin{array}{c}\max Z=2x_1+3x_2+4x_3\end{array}$$
$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}2x_1+x_2+3x_3\le 36\\ x_1+x_2\ge 8\\ x_1+x_3\ge 10\\ x_1+x_2-x_3=4\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

首先，我们将问题转换成标准形式：

min ⁡ − Z = − [ − 2 − 3 − 4 ] ⋅ [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{equation} \min \quad -Z=-\begin{bmatrix} -2 & -3 & -4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \end{equation} min−Z=−[−2​−3​−4​]⋅ ​x1​x2​x3​​ ​​​
 s.t.  { [ 2 1 3 − 1 − 1 0 − 1 0 − 1 ] ⋅ [ x 1 x 2 x 3 ] ≤ [ 36 − 8 − 10 ] [ 1 1 − 1 ] ⋅ [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 4 ] x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} 36 \\ -8 \\ -10 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. ⎩ ⎨ ⎧​ ​2−1−1​1−10​30−1​ ​⋅ ​x1​x2​x3​​ ​≤ ​36−8−10​ ​[1​1​−1​]⋅ ​x1​x2​x3​​ ​=[4​]x1​,x2​,x3​≥0​​​

然后即可代入求解：

f = [-2 -3 -4];
A = [2 1 3; -1 -1 0; -1 0 -1];
b = [36; -8; -10];
Aeq = [1 1 -1];
beq = [4];
lb = [0; 0; 0];

[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, []);
fval = -fval;

最后得出的结果为：

x =
    2.6667
    8.6667
    7.3333

fval =
    60.6667