【控制原理】解析PID如何使系统稳定，PID为何应用广泛

最近在学习自抗扰控制，学习自抗扰的时候，就不得不先复习一下PID，并进行对比，在重新学习PID的时候，就不能仅仅停留于PID是如何调试的，PID各个参数怎么用。应该更深一层，深入到控制理论中，确实对我帮助较大，大致能够解释PID如何使系统稳定，并且从算法原理的角度解释PID为何应用广泛。下面是我个人的一些理解与笔记：

比例环节

假设被控对象是一个一阶惯性系统，其传递函数可以表示为：

G = 1 / (s + a)

转换为状态方程为：

假设我们的控制目标记作v，则纯比例环节的话，框图可以简化为以下，并且我们可以化简一下上述的微分方程：

之后可以将非常数项单独拉出，定义为另一个变量 z = x - kv/(a+k)：

之后可以根据此微分方程，求解出时域的表达式，根据时域的表达式，便可以得到其稳定条件：

由上可知，k+a > 0 即为其稳定条件，这个k 其实就是 PID 中的 Kp，理论上 k 足够大的话，就可以满足大部分的一阶系统，并使其稳定。当然，如果是纯p环节的话，就会有稳态误差，可以继续求极限得到：

从稳态误差的结果来看，只要系统的系数 a≠0 ，纯P环节的话，会一直存在一个稳态误差。

PI环节

为了弥补比例环节的缺陷，引入累计误差的概念，即PI控制：

则系统的状态方程就可以写为：

这样上述积分的写法比较麻烦，可以用一个变量 e0 来代替，之后就可以方便化简：

 

化简到此步的时候，可以将与 Ki 相乘的变量再记作一个新的变量 e1 = e0 - a * v / ki，之后继续化简：

根据此微分方程，可以得出此系统的稳定条件：

根据稳定条件以及最终系统状态的稳定后状态，可以得出最终系统会趋向于当前误差e趋向于0，误差积分会趋向于 a*v/ki，不同的系统对于PI控制器来说，满足了稳定条件后，最终误差都会趋向于0，不同的系统不一样的是误差积分。

PID控制器

上述是以一阶系统来分析，假如有一个二阶系统，二阶系统的传递函数可以简化为：

G = 1/(s^2 + a2*s + a1)

可以给出PID的简易框图：

根据此框图，可以化简出关于误差e的微分方程：

将 e0 与 e 看作是两个新的状态，可以得到一个新的微分方程组：

两边同时求微分，可以将 e0 消去，得到一个关于 e 的三阶微分方程：

之后可以根据三阶线性定常系统的稳定条件，得出各系数的范围：

此时三阶系统不同与之前的一阶系统的条件那么容易得到，我们可以借助劳斯判据来得到稳定条件：

总结

根据上述劳斯判据得到的稳定条件，我们可以得到，理论上 k，kd参数足够大，并且 ki 大于0的情况下，一阶，二阶系统都可以使用PID算法使其稳定，并消除稳态误差，而大多数实际应用的系统即为一阶与二阶系统组成，一方面PID算法简单易懂，容易实现，另一方面，本文从PID算法的原理进行分析，从原理上就可以看出PID算法确实适合大部分的实际系统，也是其能够应用广泛的深层原因。