[leetcode刷题笔记]动态规划之多维dp问题

记录几道使用动态规划问题。

三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

根据三角形的规律，dp[i][j]来源于dp[i-1][j-1]或者dp[i-1][j]，因此状态转移方程为

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [[0]*n for _ in range(n)]

        dp[0][0] = triangle[0][0]

        for i in range(1,n):
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + triangle[i][0]
       
        for i in range(1,n):
            for j in range(1,i+1):
                if i == j:
                    dp[i][i] = dp[i-1][i - 1] + triangle[i][i]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]
    
        return min(dp[-1])

最大正方形

在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。

示例:

输入:

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

输出: 4

class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[int]]) -> int:
        if not matrix:
            return 0
        m,n= len(matrix),len(matrix[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        res = 0
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i == 0 or j == 0:
                    dp [i][j] = int(matrix[i][j])
                elif int(matrix[i][j]) == 0:
                    dp[i][j] = 0
                else:
                    dp [i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]) + 1
                res = max(dp[i][j],res)
        return res*res

统计全为 1 的正方形子矩阵

给你一个 m * n 的矩阵，矩阵中的元素不是 0 就是 1，请你统计并返回其中完全由 1 组成的 正方形 子矩阵的个数。

示例 1：

输入：matrix =
[
[0,1,1,1],
[1,1,1,1],
[0,1,1,1]
]
输出：15
解释：
边长为 1 的正方形有 10 个。
边长为 2 的正方形有 4 个。
边长为 3 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 10 + 4 + 1 = 15.

class Solution:
    def countSquares(self, matrix: List[List[int]]) -> int:
        m,n= len(matrix),len(matrix[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        res = 0
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i == 0 or j == 0:
                    dp [i][j] = matrix[i][j]
                elif matrix[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = 0
                else:
                    dp [i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]) + 1
                res += dp[i][j]
        return res

注意
1.dp = [[0] * n for _ in range(m)]与dp = [[0] * n ]m的区别
[[0]n]m这种方式是直接将[0]n复制了m遍，是=号复制，若[0]*n发生了更改，则m个都发生更改
2.深拷贝与浅拷贝
浅拷贝是拷贝对象的指针，当原有对象修改时，拷贝对象也会修改。
深拷贝是指源对象与拷贝对象互相独立，其中任何一个对象的改动都不会对另外一个对象造成影响。