Week 12

洛谷P1776 宝物筛选

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ 和 $W$，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来 $n$ 行每行三个整数 $v_i,w_i,m_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

样例 #1

样例输入 #1

4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3

样例输出 #1

47

提示

对于 $30\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^4$，$0\le W\le 10^3$。

对于 $100\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^5$，$0\le W\le 4\times 10^4$，$1\le n\le 100$。

思路： 典型的多重背包，可转化为二进制差分+01背包问题。

代码：

#include 
using namespace std;
int n, W, v[100005], w[100005], indexx = 1, dp[2][50005];
int main(){
    cin >> n >> W;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        int tmp = 1;
        while(tmp < c){
            v[indexx] = a * tmp, w[indexx] = b * tmp;
            indexx++;
            c -= tmp;
            tmp *= 2;
        }
        v[indexx] = a * c, w[indexx] = b * c;
        indexx++;
    }
    for(int i = 1; i <= indexx; i++){
        int now = i % 2, pre = (i + 1) % 2;
        for(int j = 0; j <= W; j++){
            if(j >= w[i]) dp[now][j] = max(dp[pre][j], dp[pre][j - w[i]] + v[i]);
            else dp[now][j] = dp[pre][j];
        }
    }
    cout << dp[indexx % 2][W];
    return 0;
}

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洛谷P1555 尴尬的数字

题目背景

Bessie 刚刚学会了不同进制数之间的转换，但是她总是犯错误，因为她的两个前蹄不能轻松的握住钢笔。

题目描述

每当 Bessie 将一个数转换成新的进制时，她总会写错一位数字。例如，她将 14 转化成 2 进制数，正确的结果是 1110，但她可能会写成 0110 或 1111。Bessie 从不会意外的增加或删减数字，所以她可能会写出以 0 开头的错误数字。

给出 Bessie 转换后 $N$ 的 2 进制形式和 3 进制形式，请计算出 $N$ 的正确数值（用十进制表示）。$N$ 可能会达到 $10^9$，输入数据保证解的存在唯一性。

输入格式

第一行，$N$ 的 2 进制表示（有一位是错误的数字）。

第二行，$N$ 的 3 进制表示（有一位是错误的数字）。

输出格式

$N$ 的正确值。

样例 #1

样例输入 #1

1010
212

样例输出 #1

14

思路： 根据题意，依次改变每一位上的数字来枚举所有的转化前的数字，其中两种进制数枚举的所有数中会出现一组相同的数，这个数即为答案。

代码：

#include
using namespace std;
int a[500], b[500], index1, index2;
int main(){
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    for(int i = 0; i < s1.length(); i++){
        string tmp = s1;
        tmp[i] = ((tmp[i] - '0') ^ 1) + '0';
        int num = 0;
        for(int j = 0; j < tmp.length(); j++){
            num = num * 2 + (tmp[j] - '0');
        }
        a[index1++] = num;
    }
    for(int i = 0; i < s2.length(); i++){
        for(int j = 1; j <= 2; j++){
            string tmp = s2;
            tmp[i] = (((tmp[i] - '0') + j) % 3) + '0';
            int num = 0;
            for(int k = 0; k < tmp.length(); k++){
                num = num * 3 + (tmp[k] - '0');
            }
            b[index2++] = num;
        }
    }
    for(int i = 0; i < index1; i++){
        for(int j = 0; j < index2; j++){
            if(a[i] == b[j]){
                cout << a[i];
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

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洛谷P8845 [传智杯 #4 初赛] 小卡和质数

题目背景

小卡最近迷上了质数，所以他想到了一个和质数有关的问题来考考你。

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

题目描述

小卡有 $T(1\le T\le 10^5)$ 组询问。每次询问给你两个正整数 $x,y(1\le x,y\le 10^9)$。

小卡想知道，第 $x$ 个质数和第 $y$ 个质数是否满足 $p_x\oplus p_y=1$，即第 $x$ 个质数和第 $y$ 个质数的异或值是否是$1$。

输入格式

第一行一个正整数 $T$，表示询问的数量。

接下来 $T$ 行，每行两个正整数 $x,y$，表示询问的是第 $x$ 个质数和第 $y$ 个质数。

输出格式

$T$ 行，每行一个字符串Yes或No，分别表示两个质数的异或值是 $1$ 或不是 $1$。

样例 #1

样例输入 #1

4
1 2
23 145
66 2
1 14

样例输出 #1

Yes
No
No
No

思路： 如果两个数的异或值是1，则这两个数的二进制表示中除了最后一位其他位的数字都必须相同，那么这两个数的数值只相差1。又因为题目要求找质数，那么只有2和3，即第一和第二个质数符合条件。因此判断是否为这两个质数即可。

代码：

#include
using namespace std;
int main(){
    int a, b, t;
    cin >> t;
    for(int i = 0; i < t; i++){
        cin >> a >> b;
        if((a == 1 && b == 2) || (a == 2 && b == 1)) cout << "Yes" << endl;
        else cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}