【YBT2023寒假Day5 C】路径计数（数学）（生成函数）
路径计数
题目链接：YBT2023寒假Day5 C
题目大意
有一个 h*w 的网格，你要从左上角走到右下角，每次可以向右或者向下，定义一条路径的分数是它经过的位置的权值和。
每次会选择权值大的点走过去，如果权值相同，就走右边，如果只有一个方向可以走就走那个方向。
一直左上角权值为 0，其它格子值域 0~S，问你有多少个网格满足路径的分数恰好是 S。
思路
考虑到网格中有很多的地方是没有限制的，而这个数量你会发现并不是固定的。
考虑到移动可以因此分为几类。
（没有限制的向右走，没有限制的向下走，有限制的往限制的方向走）
不过会注意到其实最后会有限制，但两种限制其实不同，考虑分别求贡献加起来。
假设接触了下边界，碰的位置是 ( h , a + 1 ) (h,a+1) (h,a+1)，也就是已经往右走了 a a a 次。
那往下走的次数 b = h − 1 b=h-1 b=h−1，最后限制的走要走 c = w − 1 − a c=w-1-a c=w−1−a 次。
考虑到没有限制的操作会固定一个格子的值，限制一个格子的取值，而有限制的操作会固定一个格子的值。
那任意填数的格子数 d = h w − 1 − 2 a − 2 b − c d=hw-1-2a-2b-c d=hw−1−2a−2b−c
然后考虑每种操作分开来 DP 或者什么的，就比如无限制往右走，那就是 f i , j f_{i,j} fi,j 为进行 i i i 次这个操作，权值和是 j j j 的方案数。
（这里就是把 j j j 拆成 i i i 个非负整数的所有方案，这 i i i 个数各自加一的乘积之和）
（加一是因为相等的时候往右走，可以相等）
那无限制往右走就是 g i , j g_{i,j} gi,j 为把 j j j 拆成 i i i 个非负整数的所有方案，这些数的乘积之和。
而有限制的，就是 h i , j h_{i,j} hi,j 为把 j j j 拆成 i i i 个非负整数的方案数。
那总答案就是：（注意组合数是 ( a + b − 1 a ) \binom{a+b-1}{a} (aa+b−1) 是因为最后一步一定是 b b b）
( S + 1 ) d ( a + b − 1 a ) ∑ x + y ⩽ S f a , x g b , y h c , S − x − y (S+1)^d\binom{a+b-1}{a}\sum\limits_{x+y\leqslant S}f_{a,x}g_{b,y}h_{c,S-x-y} (S+1)d(aa+b−1)x+y⩽S∑fa,xgb,yhc,S−x−y
但是这还不够，考虑后面枚举的部分要怎么处理。
考虑到这个 DP 都很简单，考虑用看看转移式：
f i , j = ∑ k = 0 j f i − 1 , j − k ( k + 1 ) f_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^jf_{i-1,j-k}(k+1) fi,j=k=0∑jfi−1,j−k(k+1)
g i , j = ∑ k = 0 j f i − 1 , j − k k g_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{j}f_{i-1,j-k}k gi,j=k=0∑jfi−1,j−kk
h i , j = ∑ k = 0 j f i − 1 , j − k h_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^jf_{i-1,j-k} hi,j=k=0∑jfi−1,j−k
发现是卷积的形式。
然后我们尝试生成函数：
F ( x ) = ∑ i ⩾ 0 ( i + 1 ) x i F(x)=\sum\limits_{i\geqslant 0}(i+1)x^i F(x)=i⩾0∑(i+1)xi
G ( x ) = ∑ i ⩾ 0 i x i G(x)=\sum\limits_{i\geqslant 0}ix^i G(x)=i⩾0∑ixi
H ( x ) = ∑ i ⩾ 0 x i H(x)=\sum\limits_{i\geqslant 0}x^i H(x)=i⩾0∑xi
然后弄封闭形式：（错位相减，就只写 F ( x ) F(x) F(x) 的例子了）
x F ( x ) = ∑ i ⩾ 0 ( i + 1 ) x i + 1 = ∑ i ⩾ 1 i x i xF(x)=\sum\limits_{i\geqslant 0}(i+1)x^{i+1}=\sum\limits_{i\geqslant 1}ix^i xF(x)=i⩾0∑(i+1)xi+1=i⩾1∑ixi
F ( x ) − x F ( x ) = 1 + ∑ i ⩾ 1 x i = ∑ i ⩾ 0 x i F(x)-xF(x)=1+\sum\limits_{i\geqslant 1}x^i=\sum\limits_{i\geqslant 0}x^i F(x)−xF(x)=1+i⩾1∑xi=i⩾0∑xi
F ( x ) = ∑ i ⩾ 0 x i 1 − x F(x)=\dfrac{\sum\limits_{i\geqslant 0}x^i}{1-x} F(x)=1−xi⩾0∑xi
然后这个是 H ( x ) H(x) H(x)，然后同样的道理（或者这个经典的形式），就得到 H ( x ) = 1 1 − x H(x)=\dfrac{1}{1-x} H(x)=1−x1
那 F ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 F(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2} F(x)=(1−x)21， G ( x ) G(x) G(x) 同理有 G ( x ) = x ( 1 − x ) 2 G(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2} G(x)=(1−x)2x
然后放进后面枚举的式子里面：
∑ x + y ⩽ S f a , x g b , y h c , S − x − y \sum\limits_{x+y\leqslant S}f_{a,x}g_{b,y}h_{c,S-x-y} x+y⩽S∑fa,xgb,yhc,S−x−y
其实就是要：
[ x S ] ( F a G b H c ) ( x ) = [ x S ] x b ( 1 − x ) 2 a + 2 b + c = [ x S − b ] 1 ( 1 − x ) 2 a + 2 b + c [x^S](F^aG^bH^c)(x)=[x^S]\dfrac{x^b}{(1-x)^{2a+2b+c}}=[x^{S-b}]\dfrac{1}{(1-x)^{2a+2b+c}} [xS](FaGbHc)(x)=[xS](1−x)2a+2b+cxb=[xS−b](1−x)2a+2b+c1
不过 1 1 − x \dfrac{1}{1-x} 1−x1 是 ∑ i ⩾ 0 x i \sum\limits_{i\geqslant 0}x^i i⩾0∑xi 的封闭形式，那这个就是 2 a + 2 b + c 2a+2b+c 2a+2b+c 个卷积起来。
那在组合意义上，它的 x S − b x^{S-b} xS−b 项，就是用 2 a + 2 b + c 2a+2b+c 2a+2b+c 个非负整数组成 S − b S-b S−b 的方案数。
那这个我们用插板法，就是 ( S − b + 2 a + 2 b + c − 1 2 a + 2 b + c − 1 ) \binom{S-b+2a+2b+c-1}{2a+2b+c-1} (2a+2b+c−1S−b+2a+2b+c−1)
代码
#include