动态规划——最优二叉搜索树

 （二叉搜索树即二叉排序树，该题并不是问如何构造最优二叉树，而是如何在二叉搜索树中达成最优搜索效率）

 简而言之，这个最优二叉搜索树的每个根节点都大于左子树的任一元素，小于其右子树的任意元素，相当于用根节点x将这个有序集分成了x的右部分。

看到这个题目立马就想到了递归与动态规划相结合的思想。根据我们对最优子结构的学习，整体若要取得最优结构，局部也应当取得最优结构，根据动态规划法的思想，我们应当从内到外构建，使得由内到外每一层次都为最优子结构。

设有n=5个关键字的集合，每个在叶节点k i 的概率p i 和在内部结点d i 的概率q i 如表所示：其中 

不过这个题目还引入了存取概率分布的因素，给出一个有序集S以及存取概率分布，因为对于所有元素的每轮搜索只有两种结果：1.在二叉树内部搜索到。2：在叶结点确定x不属于该子树。每个结点所有概率之和即Σa+Σb=1。而对于一个给定的ab概率集合，我们每进行一层搜索，其期望代价花费越高，我们只需对比总体期望代价，总体期望代价越小说明我们访问的结点越少，就越快找到。总的来说，因为我们只知道树是按二叉排序树结构构成的，而不知道具体结点的值和位置，因此需要对比查找到的X数学期望，将期望代价更低的搜索方法视为最优结构。

根据该概率集合可能产生的树结构

 

期望代价=访问结点数 * 概率

访问结点数=比较次数+1

总体期望代价=每层期望代价之和（最优子结构思想）

 如果我们查找的总体期望代价是最低的，就代表这是最优查找

 

 ​​

 此外还有改进算法，在已知s存储最优子结构的根节点的情况下，用i1，j1区分[i][j]的左右子树期望代价数组m[i][i1],m[j1][j]，其中当s[i][j-1]>i,说明i一定在s[i][j-1]的左子树内那么求m[i][j]的期望代价实际就是求左右区间m【i】【s[i][j-1]】和m【i】【s[i+1][j]】的期望代价之和，直接使得i1=s[i][j-1]，反之i1=i，j1亦然。直接求出左右子树期望代价最小值