【高等数学】四.多元函数微分学和二重积分

多元函数微分学

一、基本概念

需要熟练掌握概念的描述，容易考选择题。

1.平面点集的概念

正向证明有点难，可以反向证伪

2.极限

$$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }(x,y)=A$$
多元微分下洛必达、泰勒展开、单调有界准则不可用
并且极限会排除不存在的路径，要求的是每个方向的极限都存在并且相等
因此求极限是否存在，关键在于是否存在特殊路径，使得极限不一致

3.连续

$$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }(x,y)=f(x_0,y_0)$$
如果f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上有界

4.偏导数

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)+f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
存在，则称此为极限f(x,y)对x的偏导
TIPS

• 二阶偏导数$f_{xy}^{\prime }f(x,y)$和$f_{yx}^{\prime }f(x,y)$是同样的
• 在$f(x,y_0)=0$的情况下，$f_x^{\prime }(x,y_0)=[f(x,y_0){]}_x^{\prime }=f_x^{\prime }(x,y){|}_{y=y_0}$
• 注意：多元微分中的$\frac{\partial z}{\partial x}$不可拆分看成$\partial z$除以$\partial x$，这和一元函数中的$\frac{dz}{dx}$不一样，数值上$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$一样
  
  

5.偏导数连续

对于z=f(x,y)讨论在某特殊点(x₀,y₀)是否连续，其步骤为：

1. 用定义法求$f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
2. 用公式法求$f_x^{\prime }(x,y),f_y^{\prime }(x,y)$
3. 计算${\lim }_{x\to x_0,y\to y_0}{f}_x^{\prime }(x,y)$和${\lim }_{x\to x_0,y\to y_0}{f}_y^{\prime }(x,y)$，分别比较是否和$f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$相等，如果相等则在点(x₀,y₀)处偏导数连续
4. ∂x和dx的区别是什么？

TIPS:求极限的时候，可以将极限已确认的部分提出用于简化计算

6.可微分

全增量减去各个自变量的偏增量部分的极限为0则可微分
求可微的步骤：

1. 写出全增量$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
2. 写出线性增量$A\Delta x+B\Delta y$，其中$\Delta x=f_x^{\prime }(x_0,y_0),\Delta y=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
3. 作极限$$\underset{\Delta x\to x_0,\Delta y\to y_0}{\lim }\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$$如果极限为0，则可微，反之则不可微

TIPS：在第3步判断是否可微的时候，如果最后的结果有两个变量不好计算，可以取特殊路径，比如令$x\to x_0,y\to kx$

二、多元微分计算

2.1复合函数求导法

1.链式求导规则

2.全导数

3.全微分形式不变性

比如对于y=f(u), u=g(x)，有$y_x^{\prime }=y_u^{\prime }\cdot u_x^{\prime }$，也可以表示为：$dy=y_u^{\prime }du=y_x^{\prime }dx$，这个是一元微分的不变性

全微分形式不变指出：全微分既可以用最终变量表示，也可以用中间变量表示。这使得微分的表示不一定要用最终的x,y表示，也可以用中间变量u，v表示，从而隐藏了一部分复杂的关系细节，在复合关系难以理清的时候，可以使用。

2.2 隐函数求导法

1.一个方程的情形（公式法）

此法又称为隐函数存在定理
设F(x,y,z)=0,在点P₀(x₀,y₀,z₀)处满足$F(P_0)=0$并且$F_z^{\prime }(P_0)\ne 0$则在P₀的某邻域内可确定z=z(x,y)并且有
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$$

2.方程组情形

3.方法和总论

多元微分的计算的三大基本思路是：1.链式求导规则2.隐函数存在定理（公式法）还有3.全微分形式不变性
隐函数定理：由隐函数推导出普通函数及其微分的定理
对于一般的多元微分计算，考虑三种方法：公式法、全微分、偏微分求导法
TIPS：

• 对于难以求偏导的，可以使用先代入具体点，后求解。这一点不只是可以用于一阶求导，也可以在知道一阶导数，但是二阶导数求导十分复杂时用于简化二阶导数式子。这种方法可用范围十分广泛，包括隐函数都能用
• 幂指函数多元微分：换元法、对数化（两边加ln）、指数化
• 对于拉格朗日乘数法求条件极值仍需要加强理解，以及30讲练习11.5
• 如果出现微分难以计算，可以试试交换下求导次序
• 对于一些求微分的题目，可以试试将其转化为隐函数然后使用公式法，可能会更快
• 注意：多元微分中的$\frac{\partial z}{\partial x}$不可拆分看成$\partial z$除以$\partial x$，这和一元函数中的$\frac{dz}{dx}$不一样，数值上$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$一样

三、极值和最值问题

三大考察点：概念、无条件极值、有条件极值

3.1 无条件极值

先找必要条件：
点X₀(x₀,y₀)使得f’_x(x₀,y₀)=f’_y(x₀,y₀)=0，则点X₀为驻点，是可能的极值点
再找充分条件
令
$$\{\begin{array}{rl}{f}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& =A>0\\ f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& =f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=B\\ f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& =C\end{array}$$

• 当$\Delta =AC-B^2>0$并且$f_{xx}^{\prime \prime }>0$时，$f(x_0,y_0)$为极小值
• 当$\Delta =AC-B^2>0$并且$f_{xx}^{\prime \prime }<0$时，$f(x_0,y_0)$为极大值
• 当$\Delta =AC-B^2<0$并且$f_{xx}^{\prime \prime }<0$时，$(x_0,y_0)$非极值点

3.2 条件极值拉格朗日乘数法

不需要将详细计算过程写到卷子上，列出方程组直接写解之
TIPS：轮换对等性、全微分不变性

四、偏微分方程

考题类型：

• 已知偏导数表达式，求z=f(x,y)
• 给出变换，话已知偏微分方程位常微分方程，求f(u)

二重积分

一、概念

1.和式极限

在长方形区域[a,b]x[c,d]上的二重积分为：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\ast \frac{b-a}{n}\ast \frac{d-c}{n}$$

2.普通对称性

3.轮换对称性

TIPS：上述的注十分重要，轮换对称性经常结合基本不等式考察。并且在某些情况下， 一元函数f(x)可以通过二元化化成g(x,y)然后使用轮换对称性加基本不等式（强化30讲 例题14.598）

轮换对称性和积分区域关于y=x对称的区别在于：轮换对称性强调的是被积函数交换x,y之后，积分是否不变，而y=x强调的是，被积函数交换x,y之后，积函数是否相等

4.二重积分中值定理

设函数f(x,y)在比区域D上连续，$\sigma$是D的面积，则在D上至少存在一点(a,b)使得$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(a,b)\sigma$$

5.周期性

如果化成累次积分之后，一元积分有周期性机会，则可以化简计算
典型：设$D=(x,y)|0\le x\le \pi ,0\le y\le \pi$则
$$I={\int }_0^{\pi }|cos(x+y)|d\sigma ={\int }_0^{\pi }dx{\int }_0^{\pi }|cos(x+y)|dy={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }|cosy|dydx$$

二重积分的计算

后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限

1.直角坐标系

2.极坐标系和换序

3.直极互化

TIPS：

• 首先考虑一般对称性和轮换对称性
• 接着考虑是否需要交换积分次序，对需要交换积分次序的函数保持敏感
• 然后考虑是否需要进行极坐标和直角坐标的转化
• 难以求解的一重积分可以使用轮换对称性将其化为二重积分，然后简化求解过程。比如30讲练习12.9和12.10
• 常见结论：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$