【高等数学】第九章——多元函数积分的概念、计算及其应用

本章体系

注：

• 三重积分和二重积分的区别和联系：二重积分给定一个二维平面，算以这个平面为顶边的三维柱体的体积。那如果被积函数是1，则计算的就是这个平面的面积。

• 球面坐标系：1）拉门，喇叭，串线。 2）换元后需要加上 $r^2\sin \varphi$.

• 一元定积分是一条二维曲线和坐标轴围成的面积，第一型曲线积分是以一条空间曲线为底边形成的梯形的面积，或者理解成空间曲线的质量。

注：

• 第一型曲面积分和二重积分：前者是空间曲面的质量，后者是平面曲线的质量。

• 形心易求的时候可以使用的积分技巧。

注：

• 为何使用格林公式：三个条件
• 为何使用高斯公式：
• 为何使用斯托克斯公式：

三重积分

方法一：先一后二

柱坐标 rdr

例题一

都是算poly-int，看着复杂其实不难

例题二

方法二：先二后一

例题一

先对称性化简

例题二

如何确定曲面方程？首先是初始平面的方程。其次，因为绕z轴旋转，所以z不变。最后，旋转半径。
$y_1^2=2z_1$, $z_1=z$, $x^2+y^2=y_1^2$

例题三

被积函数和x,y,z无关，先2后1更简单，最后相当于计算一个最简答的一元定积分

方法三：球坐标 r^2sin\phi

例题一

方法四：奇淫巧技

例题一

第一型曲线积分

方法一：一投二代三计算——转换为定积分

例题一

不要盲目直接设球面坐标，利用相等关系化简。

方法二：奇淫巧技

例题一

密度为固定值1

第一型曲面积分

方法一：转换为二重积分

例题一

用到了对称性，注意结果==*8==

方法二：奇淫巧技

计算几种几何量

平面区域

空间区域

例题一：利用第一型曲面积分求空间曲面的面积

例题二

画图，求投影的时候需要消去Z.

计算重心

平面、曲面、曲线、空间物体

例题一：求形心坐标

转动惯量

例题一

$y^2=x$, 绕 $x$ 轴旋转，则 $x$ 不变，等式变为 $z^2+y^2=x$. 旋转面先二后一比较方便。

第二类曲线积分

什么是场？什么是变力做功？

和其他积分的对称性不同

力与位移相同，做正功；力与位移相反，做负功。对于对称区域，先将曲线的方向进行分解，再将力的方向和曲线的方向进行比较，看是否一致。

方法一：一投二代三计算——化为定积分

例题一

方法二：格林公式

方向相反，做负功。

例题一

例题二

在里面挖洞，椭圆面积=$\pi ab$

第二类曲面积分

方法一：化为二重积分

方法二：高斯公式

例题一

增补的面在xOy上面，法向竖直向下，和z轴的夹角是钝角，故添负号。

例题二

球体体积公式

空间第二型曲线积分的计算

关键是法向的选择

例题一