大法师安东尼ds
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【高等数学】第九章——多元函数积分的概念、计算及其应用

本章体系

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注：

  • 三重积分和二重积分的区别和联系：二重积分给定一个二维平面，算以这个平面为顶边的三维柱体的体积。那如果被积函数是1，则计算的就是这个平面的面积。

  • 球面坐标系：1）拉门，喇叭，串线。 2）换元后需要加上 r 2 sin ⁡ ϕ r^2\sin\phi r2sinϕ.

  • 一元定积分是一条二维曲线和坐标轴围成的面积，第一型曲线积分是以一条空间曲线为底边形成的梯形的面积，或者理解成空间曲线的质量。

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注：

  • 第一型曲面积分和二重积分：前者是空间曲面的质量，后者是平面曲线的质量。

  • 形心易求的时候可以使用的积分技巧。

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注：

  • 为何使用格林公式：三个条件
  • 为何使用高斯公式：
  • 为何使用斯托克斯公式：

三重积分

方法一：先一后二

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柱坐标 rdr

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例题一

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都是算poly-int，看着复杂其实不难

例题二

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方法二：先二后一

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例题一

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先对称性化简

例题二

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如何确定曲面方程？首先是初始平面的方程。其次，因为绕z轴旋转，所以z不变。最后，旋转半径。
y 1 2 = 2 z 1 y_1^2=2z_1 y12​=2z1​, z 1 = z z_1=z z1​=z, x 2 + y 2 = y 1 2 x^2+y^2=y_1^2 x2+y2=y12​

例题三

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被积函数和x,y,z无关，先2后1更简单，最后相当于计算一个最简答的一元定积分

方法三：球坐标 r^2sin\phi

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例题一

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方法四：奇淫巧技

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例题一

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第一型曲线积分

方法一：一投二代三计算——转换为定积分

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例题一

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不要盲目直接设球面坐标，利用相等关系化简。

方法二：奇淫巧技

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例题一

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密度为固定值1

第一型曲面积分

方法一：转换为二重积分

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例题一

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用到了对称性，注意结果==*8==

方法二：奇淫巧技

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计算几种几何量

平面区域

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空间区域

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例题一：利用第一型曲面积分求空间曲面的面积

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例题二

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画图，求投影的时候需要消去Z.

计算重心

平面、曲面、曲线、空间物体

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例题一：求形心坐标

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转动惯量

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例题一

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y 2 = x y^2=x y2=x, 绕 x x x 轴旋转，则 x x x 不变，等式变为 z 2 + y 2 = x z^2+y^2=x z2+y2=x. 旋转面先二后一比较方便。

第二类曲线积分

什么是场？什么是变力做功？

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和其他积分的对称性不同

力与位移相同，做正功；力与位移相反，做负功。对于对称区域，先将曲线的方向进行分解，再将力的方向和曲线的方向进行比较，看是否一致。

方法一：一投二代三计算——化为定积分【高等数学】第九章——多元函数积分的概念、计算及其应用_第18张图片

例题一

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方法二：格林公式

方向相反，做负功。
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例题一

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例题二

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在里面挖洞，椭圆面积= π a b \pi ab πab

第二类曲面积分

方法一：化为二重积分

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方法二：高斯公式

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例题一

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增补的面在xOy上面，法向竖直向下，和z轴的夹角是钝角，故添负号。

例题二

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球体体积公式

空间第二型曲线积分的计算

关键是法向的选择
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例题一

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      协议：在计算机网络中通信各方面所达成的、共同遵守和执行的一系列约定 　　计算机网络的体系结构：计算机网络的层次结构和各层协议的集合。 　　两类服务： 　　面向连接的服务通信双方在通信之前先建立某种状态，并在通信过程中维持这种状态的变化，同时为服务对象预先分配一定的资源。这种服务叫做面向连接的服务。 　　面向无连接的服务通信双方在通信前后不建立和维持状态，不为服务对象
  • mac中用命令行运行mysql dcj3sjt126com mysqllinuxmac
    参考这篇博客：http://www.cnblogs.com/macro-cheng/archive/2011/10/25/mysql-001.html  感觉workbench不好用（有点先入为主了）。 1，安装mysql 在mysql的官方网站下载 mysql 5.5.23 http://www.mysql.com/downloads/mysql/，根据我的机器的配置情况选择了64
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    MongDB查询 转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2174452 一、find简介 MongoDB中使用find来进行查询。 API:如下 function ( query , fields , limit , skip, batchSize, options ){.....}  参数含义： query:查询参数 fie
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    String data0 = new String(Base64.encode(bo.getPaymentResult().getBytes(("GBK")))); String data1 = new String(Base64.decode(data0.toCharArray()),"GBK"); // 注意编码格式，注意用于加密，解密的要是同
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      什么是JSP？为什么使用JSP？ JSP表示Java Server Page，即嵌有Java代码的HTML页面。使用JSP是因为在HTML中嵌入Java代码比在Java代码中拼接字符串更容易、更方便和更高效。   JSP起源    在很多动态网页中，绝大部分内容都是固定不变的，只有局部内容需要动态产生和改变。  如果使用Servl
  • apple watch 指南 啸笑天 apple
    1. 文档 WatchKit Programming Guide（中译在线版 By @CocoaChina） 译文 译者 原文 概览 - 开始为 Apple Watch 进行开发 @星夜暮晨 Overview - Developing for Apple Watch 概览 - 配置 Xcode 项目 - Overview - Configuring Yo
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    1.列举出 10个JAVA语言的优势 a:免费，开源，跨平台(平台独立性)，简单易用，功能完善，面向对象，健壮性，多线程，结构中立，企业应用的成熟平台, 无线应用 2.列举出JAVA中10个面向对象编程的术语 a:包，类，接口，对象，属性，方法，构造器，继承，封装，多态，抽象，范型 3.列举出JAVA中6个比较常用的包 Java.lang;java.util;java.io;java.sql;ja
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    var v = 'C9CFBAA3CAD0'; console.log(v); var arr = v.split(''); for (var i = 0; i < arr.length; i ++) { if (i % 2 == 0) arr[i] = '%' + arr[i]; } console.log(arr.join('')); console.log(v.r
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    关键字：Hive统计信息、分析Hive表、Hive Statistics   类似于Oracle的分析表，Hive中也提供了分析表和分区的功能，通过自动和手动分析Hive表，将Hive表的一些统计信息存储到元数据中。   表和分区的统计信息主要包括：行数、文件数、原始数据大小、所占存储大小、最后一次操作时间等；   14.1 新表的统计信息 对于一个新创建
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        Spring Boot 1.2.5已在7月2日发布，现在可以从spring的maven库和maven中心库下载。   这个版本是一个维护的发布版，主要是一些修复以及将Spring的依赖提升至4.1.7(包含重要的安全修复)。   官方建议所有的Spring Boot用户升级这个版本。   项目首页 | 源
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