高数：微分 函数图像 曲率
目录
微分的定义：
微分几何含义：
微分中值定理：
费马定理
罗尔定理：
拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
洛必达法则：
泰勒公式
小总结：
凹凸性：
极值及其求法：
函数图形的描绘：
曲率：
曲率半径：用圆来模拟的曲率半径
微分的定义：
近似出y的变量，当x变化时
定义：
设y=f（x），x->x+x0
y的增量：y1=f(x+x0)-f(x)
可变成y0=Ax1+o（x0）（y的变化量和x的变化量线性相关，o（x0）称为高阶无穷，A称为线性主部）
变形：dy=Ax0即dy=A*dx （dy是近似值）
可微的充要条件可导：
y0/x0=A+o（x0）/x0
A=f'(x)
理解：Adx即为y近似值的变化，
dy/dx=f‘（x）；（此时dy，dx可以分开）
基本微分公式与法则：dy=dx*f’（x）
微分形式不变性：换元求导罢了
d（原函数）=（一阶导）*dt
总结：微分就是求导，为了不定积分打下基础
微分几何含义：
首次y0为变化量，dy为y0的近似值
理解：用切线模拟曲线
当x0趋于0时，y和dy近似相等
微分的近似计算：
y0=f（x）*x0；
f（x0+x）=f‘（x）*x0+f（x0）；
注意：x0越大，偏差越大。
微分中值定理：
费马定理
：极大值导数等于0
证明：求出左右极限的范围，因为可导，极限为0
驻点：导数等于0的点，不一定为极值点
罗尔定理：
满足：1.[a,b]连续2.（a，b）可导3.f（a）=f（b）
则存在c属于（a，b），f’（c）为0；
理解，隐含相对于费马定理，存在了最大值或最小值
拉格朗日中值定理：
1.[a,b]连续2.（a，b）可导
存在c属于（a，b），f’（c）=（f（a）-f（b））/（a-b）；
理解：任意割线线和某一点的切线斜率相等
罗尔定理相当于把拉格朗日定理的特殊情况
柯西中值定理：
对任意f（x）和F(x)
1.[a,b]连续2.（a，b）可导3.F(x)！=0
（f（b）-f（a））/（F(b)-F(a)）=f’（c）/F'(c)
注意右边是一个变量c
三个定理中值：柯西推拉格朗日，令F(x)=x
拉格朗日推罗尔，令f（a）=f（b）
洛必达法则：
前提：0/0 或者无穷/无穷
1.x->a或者无穷时,f(x)->0 F(x)->0（无穷）
2.在a的去心邻域内f‘（x），F’(x)存在且F‘（x）不等于0
3.lim x->0 f'(x)/F'(x)存在极限或者无穷大，还是0/0或者无穷/无穷则继续求导（如果极限不存在，方法无效）
则limx->0f(x)/F(x)=limx->0f'(x)/F'(x)
拓展：0*无穷 无穷-无穷，0^0 1^无穷 无穷^0化成前提条件可以用洛必达
运用：1.检查0/0 或者无穷/无穷
2.求导，再检验0/0 或者无穷/无穷，是，求导，不是，等价无穷小，替换
3.将趋于整数的项项外移，不影响是否极限是否存在的判断
泰勒公式
：用到的少
微分是用一次表达式，泰勒就是用多次表达式1次，2次，3次来模拟函数
P(n)=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）^2……an*（x-x0）*n
此时f（x0）=a0，f’（x0）=a1，f‘’（x0）=2！a2.......
an=f^n(x0)/n!
余项：Rn=o((x-x0)^n)=f（n+1）(A)*(x-x0)^(n+1)/(n+1)!
存在A在x0到x之间使得，多项式完美拟合曲线，当n=0时，就是拉格朗日定理
麦克劳林公式：在0处展开
P（n）=a0+a1/1！+a2/2！......
e^x=1+x+x^2/2!+.......+R(n)
等价无穷小的原理
原理对sinx和cosx进行更高精度的展开
小总结：
1.洛必达法则 2.等价无穷小 3.换元（三角反函数）4.泰勒公式
函数单调性：f'（x）>=0,单调增，<=0,单调减......
讨论单调性：1.驻点=x0，f‘（x0）=0 2.导数不存在的点
凹凸性：
定义：
f（x）是凹的那么-f（x）是凸的
二阶导数正，凹函数，负是凸
理解：切线斜率变化
一可跳二无荡，一阶导数可以跳跃，二阶导数无荡
凸凹性改变的点为拐点，f''（x0）=0,拐点一定符合x0，x0不一定是拐点
x0可以在二阶导无定义
极值及其求法：
极值：邻域内最大小
最值：区域内最大
最值唯一，最值点不唯一
x0为极值点充要条件：f’（x0）=0；f‘’（x0）！=0；
函数图形的描绘：
1.看定义域 奇偶 周期 渐近线（水平，铅锤）
2特殊点x=0；x=1
3.一阶导决定增减性，极值点
4.二阶导决定凹凸性
步骤：1.先求一阶导，再求二阶导
2.求一阶导等于0的解，再求二阶导等于0的根
3.做表
4.一阶导有不被定义的点，原函数有渐进线
二阶导有不被定义的点，一阶导有渐进线
曲率：
简单来说就是：角度变化/弧长
曲率：k=limx->0|a/s|
圆的曲率：1/r
角度变化相同时，弧长越长，曲率越小，所以半径越长，曲率越小
证明y=f（x）设切线与x轴夹角为a，y‘=tana；
y''=seca^2*da/dx
da/dx=y''/seca^2 ds/dx=seca seca^2=1+tanx^2
代入得到结果
对于函数y=f（t）x=g（t）
曲率：
证明tana=f’（t）/g'(t)
a(t)=arctanf'(t)/g'(t)
a't=1/(1+(y'/x')^2)*[(y'/x')^2]'
