【复习笔记】二重积分

目录

一、二重积分的概念

二、性质

三、对称性

1、普通对称性(奇偶性)

2、轮换对称性

四、计算

1、直角坐标系

2、极坐标

3、极坐标与直角坐标选择的一般原则

4、极坐标直角坐标系互化

5、积分次序

6、二重积分解决一元积分问题

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一、二重积分的概念

定义：设一个函数，在有界闭区域（一个面）上有定义，

将区域任意分成个小闭区域（微分），其中表示第个小区域，也表示它的面积，

在每个范围内，任取一点,作乘积并在区域内求和，，

使每个区域都趋于无穷小，求极限，若极限存在，则称此极限值为函数在区域上的二重积分，记为

。

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二、性质

1、求区域面积，，A为区域的面积；

2、可在区域内进行二重积分的函数，在区域内必有界；

3、二重积分的线性性质；

4、二重积分的可加性，可以把积分区域拆分，分别积分。；

5、积分的保号性：

（1）比较函数大小，若在区域内有，则在区域内的积分的大小关系不变；

（2）估值定理，若在区域上，，则有，为区域面积，一般用于证明；

（3），几何意义相当于有高度的正负，取绝对值即为体积；

6、中值定理：设函数在闭区域上连续，A为区域的面积，则在上至少存在一点，使得，对比；

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三、对称性

        二重积分的几何背景是曲顶柱体的体积，是利用了微分的方法，把不规则的曲顶柱体分成一个个近似小长条柱体，再把区域内所有的部分加起来，得到整个曲顶柱体的体积。基于这个思路，对二重积分的对称性展开讨论。

1、普通对称性(奇偶性)

（1）设区域关于轴对称，取对称点，对称点处的高分别为，当高相等时，对称两边体积相同，只需计算一边；当高互为相反数时，“体积”相反，加起来正好为0；

（2）区域关于轴对称时也是同理，在计算前应先考虑能否利用对称性简化计算；

（3）在三重积分时也具有这样的性质。

2、轮换对称性

若把字母对调之后，区域不变，或区域关于对称，则

主要用在凑出等便于利用极坐标系简化计算

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四、计算

1、直角坐标系

（1）先积后，

（2）先积x后y，

2、极坐标

(扇形所对应的弧长，)

3、极坐标与直角坐标选择的一般原则

看被积函数是否含有等可简化计算，积分区域是否为圆或圆的一部分。原则上来说直角坐标系和极坐标系可以互化，只是计算量有时候某一个坐标系会方便一点。

4、极坐标直角坐标系互化

5、积分次序

在遇到原函数无法表达出来的时候，可以试着改变一下积分次序，换一个字母先求原函数可能更加简便一点。

6、二重积分解决一元积分问题

持续补充中