数学学科的总体架构是什么？
整个数学学科的宏观体系由哪几部分组成？这一问题的回答属于数学史的范畴。数学史的研究属于整个数学领域的一个分支。研究数学史的人来回答这样的问题是轻而易举的，但是对于非数学史专业的人来说就比较困难。这好比要问整个刘姓家族分为哪几个分支，这个问题找姓刘的人来回答比较合适，若非得找一个不是姓刘的人来回答，估计此人会觉得难乎其难。不过对于非数学专业的人来说，了解一下数学学科的架构还是很有必要的。谁让数学是科学之母呢！尤其学习AI的人更是离不开数学。比如下面这个问题就与数学史有关。
一个人从小学开始学习数学，一直到高中，学了十几年的数学，到底学了些什么呢？如果用一两句话来概括一下，该怎么回答？
碰到上面的问题，估计一般人都有点晕，这个还真是不好回答呢！还是得多读书啊。下面的两本有关数学史的书就给出了答案，如书籍 3所示。一本是张文俊教授写的《数学欣赏》[1]，该书是一本介绍数学历史和数学文化的书籍，从数学之魂、数学之功、数学之旅、数学之美、数学之趣、数学之妙、数学之奇、数学之问等多方面介绍了数学的面貌，同时该书还有对应的在线课程视频，非常值得一看，见课程 1。还有一本是李文林教授写的《数学史概论》[2]，该书以重大数学思想的发展为主线，阐述了从远古到现代数学的历史，现在已经出到第三版。让我们回忆一下从小学到高中学习数学的过程：刚开始我们会学到各种各样的数，例如整数、小数、分数等；然后学习数与数之间的运算，例如+、－、×、÷等；接下来可以把若干个数进行打包后放在一起，就得到了集合，例如所有的正整数就是一个集合；随后对于不同的集合就要研究它们之间的关系，那么就产生了函数。好了，这基本上就是我们从小学一直到高中所能够学到的初等代数的内容了。聪明的你，自然会联想到，我们应该还学过几何。是的，确实如此。来看看我们学了哪些几何方面的内容：首先我们会接触到点的坐标，然后是直线和曲线，接下来平面和曲面，最后是各种立体图形。现在如果让你回答一下从小学到高中都学了哪些数学内容，你一定脱口而出：“代数和几何！”
书籍 3 数学史书籍推荐: (a) 数学欣赏 (张文俊); (b) 数学史概论 (李文林)
课程 1 深圳大学张文俊教授的《数学文化赏析》中文课程，网址为：https://www.bilibili.com/video/BV1v54y1i7Sx?p=1
上面以一个生动的例子来呈现了小学到高中的数学学习的大致内容。回归正题，整个数学学科的宏观体系由哪几部分组成呢？实际上，整个数学领域可以粗略地分为基础数学、应用数学、数学史等几个部分，如图 3 1所示。
图 3-1 数学学科的总体架构
基础数学又称为纯粹数学，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。基础数学又包含代数学、几何学、分析学等三个主要领域。代数学是研究数、数量、关系、结构与代数方程的数学分支，可以形象地说成是解决“数”的问题。几何学则是研究空间结构的形状及性质的一门学科，也就是解决“形”的问题。分析学是一种较复杂的专业数学分支，涉及到微积分、复分析、泛函分析等诸多内容。
应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学理论解决其它领域的问题，其概念与基础数学相对。应用数学包含了计算数学、运筹学、统计学、控制论、信息论等诸多领域。
数学史是研究数学科学的起源、发展及其规律的科学。通俗地说，数学史就是研究数学的历史。数学史的研究内容包括追溯数学内容、思想和方法的产生、演变、发展过程，以及影响这些过程的各种因素。除此之外，数学史还研究数学科学的发展对人类文明所带来的重要影响。数学史属于交叉学科，其研究对象不仅包括具体的数学内容，同时还涉及哲学、历史学、宗教学、文化学等社会科学与人文科学内容。数学史主要包含了世界数学史、中国数学史等领域。
图 3-1是对数学学科总体架构的大致描述。可能不是非常严谨和全面，但却可以看出整个数学领域的大致结构。为什么我们要去呈现这样一个结构呢？主要是让读者解决数学是什么以及学数学到底学什么的问题。
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