数字信号处理（6）- 特殊滤波器的设计

目录

1 简单一阶滤波器的设计

2 数字谐振器的设计

2.1 二阶数字谐振器的基本概念

2.2 设计实例

2.3 波形发生器——双音多频信号的产生

3 数字陷波器的设计

3.1 数字陷波器的基本概念

3.2 数字滤波器的设计举例

3.3 音频仿真实例

4 全通滤波器的设计

4.1 全通滤波器的基本概念

4.2 实系数因果稳定的全通滤波器的相位响应

4.3 实系数因果稳定全通滤波器的重要特性

5 最小相位滤波器的设计 

5.1 最小相位滤波器的基本概念

5.2 最小相位滤波器的举例

6 工程中常用的滤波方法

6.1 走进大师——欧拉

6.2 限幅滤波法

6.3 中值滤波法 

6.4 算术平均（滑动平均）滤波法

6.5 几种融合型的滤波方法

6.6 去除信号中的趋势项

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1 简单一阶滤波器的设计

设计数字滤波器的一般原则：

1.若使设计的滤波器拒绝某个频率（不让该频率通过）应在单位圆上相应的频率处设置一个零点。

2.若使设计的滤波器突出某个频率（使该频率尽量无衰减的通过），应在单位圆内相应的频率处设置一个极点，极点越接近单位圆，在该频率处的幅频响应幅值越大。

信号频率不会超过折叠频率，有效频率0-π相当于0-fs/2，负频率不存在，具有对称性。

π相当于高频成分。

0相当于直流分量。此时距离零点在π处距离最远，分子最大，为2，因此是最大幅值。

z不能等于无穷大，为了确保因果性，补一个极点，相当于做一个一阶延迟。

圆心处的零极点不影响系统的幅频响应。 

最大幅值应归一化。

 

出现尖峰，极点是在分母的位置，变化一点，总体变化较多。 与零点调整，分子的效果是不一样的。

分子1-a归一化幅度。

补充零点，在π处为0。整体幅度归一化要再除以2.

 补充设计：a的值选取会和带宽有关。

通带截止频率会保证7成的频率成分通过。

 

 设计实例：

大于2倍信号最高频率即可，这里是方便计算取1000Hz。 

 

 

 

基本去除，但是痕迹还是在。 

 

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2 数字谐振器的设计

2.1 二阶数字谐振器的基本概念

回忆：电路里的谐振：当电路中激励的频率等于电路的固有频率时，电路电磁振荡也将达到峰值。

数字谐振器又称共振器。

 常见的二阶数字谐振器：

一对共轭极点，乘开后，用欧拉公式整理好，是实系数的h(n）。方便用差分方程去实现。

靠增益A实现幅值归一化。 

半径比较大，靠近单位圆的时候，分母会很小，会更凸显频率成分，带宽会窄，选择性更好。

 

 另一种形式，分子上有所改变。

零点位置会对滤波器产生影响，直流和最高频分量被滤除。

2.2 设计实例

通带中心即谐振点的位置。

两点频率响应为零，说明有两个零点。

由系统的滤波特性选择参数G和r。

 

 

因为50Hz处仍然隐隐约约，因为50hz处没有放零点。 

 

2.3 波形发生器——双音多频信号的产生

来源于二阶谐振器。

双音多频技术规范。 

 

 

该系统应该是不稳定的，因为极点在单位圆上。 

但是输入是冲激，输出是没完没了的正弦，时间可以由我们自己控制，所以问题不大。

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3 数字陷波器的设计

3.1 数字陷波器的基本概念

陷波器：一种特殊的带阻滤波器，其带阻在理想情况下只有一个频率点，主要用于消除某个特定频率的干扰。

3.2 数字滤波器的设计举例

共轭对称是为了设计的滤波器是实系数的。 

零点比极点多，系统不因果，因此加极点。

假设输入信号，进行仿真： 

 

滤除过多，直流信号都被滤掉了。

频域展现：

重新设计极点的位置：

 c和d应相等，确保其它频率处值约为1。A这里就只需要取1了。

零极点相互牵制。

不能在单位圆上，否则零极点抵消了。

半径r怎么选取？做实验！

不同r参数下的频率响应：观察不同的陷波曲线。

半径大，陷波越窄，按需求选取。 

 

3.3 音频仿真实例

音频为巴赫的《小步舞曲》。

 

 节约计算成本，如在微处理上实现，有限字长这么长，运算起来很耗时间。所以变成2位小数。

 

效果不好。 

 

有限字长少了，零极点位置飘了，陷波中心位置跑了。输入响应的频率变到了过渡带上。

陷波器的带宽非常地窄，有限字长如果取得不够到位的话，很可能零极点的位置会飘，陷波中心就不对了， 导致陷波效果达不到。

一定要做实验，两位小数行不行，不行再退回。

 

工程师的基本素养——严谨认真、精益求精 

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4 全通滤波器的设计

4.1 全通滤波器的基本概念

 

实系数的情况下频率响应是共轭对称的。

零极点的分布特性：共轭倒易的关系。

4.2 实系数因果稳定的全通滤波器的相位响应

 

4.3 实系数因果稳定全通滤波器的重要特性

 

 

 

 

5 最小相位滤波器的设计 

5.1 最小相位滤波器的基本概念

最小相位滤波器系统函数的特点： 

 

最小相位滤波器的应用：补偿。 

 

希望G(z)=1 

其零点可能在单位圆外，求逆，立刻变身为极点，不因果稳定。 

 

 分解成一部分最小相位系统，一部分是全通系统。

全通滤波器把相位的滞后全放在它那里做完了。 

 

5.2 最小相位滤波器的举例

(z-3)/(z-3/4)上下两式均配凑。

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6 工程中常用的滤波方法

6.1 走进大师——欧拉

 

 

6.2 限幅滤波法

 

 

过分平缓。

6.3 中值滤波法 

 不是线性移不变系统，但是有好的滤波效果。

 

过于平滑。 

滑动窗选取慎重。

6.4 算术平均（滑动平均）滤波法

 

 平滑效果好，对脉冲型效果差。

6.5 几种融合型的滤波方法

6.6 去除信号中的趋势项

信号中有零漂现象等。

Matlab中有函数dechange可以去除趋势项。

这里用朴素的提取方法。