（邱维声）高等代数课程笔记：齐次线性方程组解集的结构
3.8 齐次线性方程组解集的结构
一般地，设齐次线性方程组
x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = 0 , α i ∈ K s , 1 ≤ i ≤ n (1) x_1\boldsymbol{\alpha }_1+x_2\boldsymbol{\alpha }_2+\cdots +x_n\boldsymbol{\alpha }_n=\boldsymbol{0},\quad \boldsymbol{\alpha }_i\in K^s,1 \le i\le n \tag{1} x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0,αi∈Ks,1≤i≤n(1)
的解集为 W W W，显然， W ⊆ K n W \subseteq K^{n} W⊆Kn。
现在，不妨设 ( 1 ) (1) (1)有非零解。
性质 1：若 η , δ ∈ W \boldsymbol{\eta},\boldsymbol{\delta}\in W η,δ∈W，则 η + δ ∈ W \boldsymbol{\eta} + \boldsymbol{\delta}\in W η+δ∈W。
性质 2：若 η ∈ W \boldsymbol{\eta}\in W η∈W， ∀ k ∈ K \forall ~ k \in K ∀ k∈K，则 k ⋅ η ∈ W k \cdot \boldsymbol{\eta} \in W k⋅η∈W。
容易证明， W W W 是数域 K K K 上的一个线性空间，我们称之为 解空间。
下面，我们要找到解空间 W W W 的一个基。
我们知道，齐次线性方程组必定有解，或是零解，或是非零解。当然，我们重点研究非零解。
当 ( 1 ) (1) (1) 有非零解时，我们来探讨 W W W 的基与维数。一般地，设 ( 1 ) (1) (1) 的系数矩阵为 A \boldsymbol{A} A ，且 r a n k ( A ) = r < n rank ~ (\boldsymbol{A}) = r< n rank (A)=r<n。
首先，对 A \boldsymbol{A} A 进行初等行变换，化为阶梯形矩阵 J \boldsymbol{J} J：
系数矩阵 A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) → 初等行变换 阶梯形矩阵 J = ( b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 ⋯ b n n ) \text{系数矩阵}~\boldsymbol{A}=\left( \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\text{初等行变换}}\text{阶梯形矩阵}~\boldsymbol{J}=\left( \begin{matrix} b_{11}& \cdots& b_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ b_{n1}& \cdots& b_{nn}\\ \end{matrix} \right) 系数矩阵 A=⎝ ⎛a11⋮an1⋯⋱⋯a1n⋮ann⎠ ⎞初等行变换阶梯形矩阵 J=⎝ ⎛b11⋮bn1⋯⋱⋯b1n⋮bnn⎠ ⎞
于是， J \boldsymbol{J} J 有 r r r 个主元（即非零行的个数），方便起见，不妨假定它们分别在前 r r r 列（否则的话，可以通过初等列变换达到这一目的）。
从而 ( 1 ) (1) (1) 的一般解为：
{ x 1 = − b 1 , r + 1 x r + 1 − b 1 , r + 2 x r + 2 − ⋯ − b 1 , n x n ⋯ x r = − b r , r + 1 x r + 1 − b r , r + 2 x r + 2 − ⋯ − b r , n x n \begin{cases} x_1=-b_{1,r+1}x_{r+1}-b_{1,r+2}x_{r+2}-\cdots -b_{1,n}x_n\\ \cdots\\ x_r=-b_{r,r+1}x_{r+1}-b_{r,r+2}x_{r+2}-\cdots -b_{r,n}x_n\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=−b1,r+1xr+1−b1,r+2xr+2−⋯−b1,nxn⋯xr=−br,r+1xr+1−br,r+2xr+2−⋯−br,nxn
其中， x r + 1 , ⋯ , x n x_{r+1},\cdots,x_{n} xr+1,⋯,xn 均为自由未知量，对自由未知量组赋予不同的值，将对应得到未知量 x 1 , ⋯ , x r x_{1},\cdots,x_{r} x1,⋯,xr 不同的值。现在，我们来对自由未知量进行赋值（当然，赋值越简单越好），例如：为 x r + 1 , ⋯ , x n x_{r+1},\cdots,x_{n} xr+1,⋯,xn 分配 n − r n-r n−r 组数
( 1 0 ⋮ 0 ) , ( 0 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , ( 0 0 ⋮ 1 ) \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \end{array} \right) ,\quad \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0\\ \end{array} \right) ,\quad \cdots ,\quad \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\ \end{array} \right) ⎝ ⎛10⋮0⎠ ⎞,⎝ ⎛01⋮0⎠ ⎞,⋯,⎝ ⎛00⋮1⎠ ⎞
如此，可得到 n − r n - r n−r 组不同的解
η 1 = ( − b 1 , r + 1 , − b 2 , r + 1 , ⋯ , − b r , r + 1 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T , η 2 = ( − b 1 , r + 2 , − b 2 , r + 2 , ⋯ , − b r , r + 2 , 0 , 1 , ⋯ , 0 ) T , ⋯ , η n − r = ( − b 1 , n , − b 2 , n , ⋯ , − b r , n , 0 , 0 , ⋯ , 1 ) T \boldsymbol{\eta }_1=\left( -b_{1,r+1},-b_{2,r+1},\cdots ,-b_{r,r+1},1,0,\cdots ,0 \right) ^T,\boldsymbol{\eta }_2=\left( -b_{1,r+2},-b_{2,r+2},\cdots ,-b_{r,r+2},0,1,\cdots ,0 \right) ^T,\cdots ,\boldsymbol{\eta }_{n-r}=\left( -b_{1,n},-b_{2,n},\cdots ,-b_{r,n},0,0,\cdots ,1 \right) ^T η1=(−b1,r+1,−b2,r+1,⋯,−br,r+1,1,0,⋯,0)T,η2=(−b1,r+2,−b2,r+2,⋯,−br,r+2,0,1,⋯,0)T,⋯,ηn−r=(−b1,n,−b2,n,⋯,−br,n,0,0,⋯,1)T
显然，
( 1 0 ⋮ 0 ) , ( 0 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , ( 0 0 ⋮ 1 ) \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \end{array} \right) ,\quad \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0\\ \end{array} \right) ,\quad \cdots ,\quad \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\ \end{array} \right) ⎝ ⎛10⋮0⎠ ⎞,⎝ ⎛01⋮0⎠ ⎞,⋯,⎝ ⎛00⋮1⎠ ⎞
是线性无关的，因此其延伸组 η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r 也线性无关。
任取 η ∈ W \boldsymbol{\eta} \in W η∈W，不妨设 η = ( c 1 , c 2 , ⋯ , c r , c r + 1 , ⋯ , c n ) T \boldsymbol{\eta} = (c_{1},c_{2},\cdots,c_{r},c_{r+1},\cdots,c_{n})^{T} η=(c1,c2,⋯,cr,cr+1,⋯,cn)T。则有：
{ c 1 = − b 1 , r + 1 c r + 1 − b 1 , r + 2 c r + 2 − ⋯ − b 1 , n c n ⋯ c r = − b r , r + 1 c r + 1 − b r , r + 2 c r + 2 − ⋯ − b r , n c n \begin{cases} c_1=-b_{1,r+1}c_{r+1}-b_{1,r+2}c_{r+2}-\cdots -b_{1,n}c_n\\ \cdots\\ c_r=-b_{r,r+1}c_{r+1}-b_{r,r+2}c_{r+2}-\cdots -b_{r,n}c_n\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧c1=−b1,r+1cr+1−b1,r+2cr+2−⋯−b1,ncn⋯cr=−br,r+1cr+1−br,r+2cr+2−⋯−br,ncn
从而有
η = ( − b 1 , r + 1 c r + 1 − b 1 , r + 2 c r + 2 − ⋯ − b 1 , n c n − b 2 , r + 1 c r + 1 − b 2 , r + 2 c r + 2 − ⋯ − b 2 , n c n ⋯ − b r , r + 1 c r + 1 − b r , r + 2 c r + 2 − ⋯ − b r , n c n c r + 1 ⋯ c n ) = c r + 1 ( − b 1 , r + 1 − b 2 , r + 1 ⋮ − b r , r + 1 1 0 ⋮ 0 ) + c r + 2 ( − b 1 , r + 2 − b 2 , r + 2 ⋮ − b r , r + 2 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + c n ( − b 1 , n − b 2 , n ⋮ − b r , n 0 0 ⋮ 1 ) = c r + 1 η 1 + c r + 2 η 2 + ⋯ + c n η n − r \begin{aligned} \boldsymbol{\eta }&=\left( \begin{array}{c} -b_{1,r+1}c_{r+1}-b_{1,r+2}c_{r+2}-\cdots -b_{1,n}c_n\\ -b_{2,r+1}c_{r+1}-b_{2,r+2}c_{r+2}-\cdots -b_{2,n}c_n\\ \cdots\\ -b_{r,r+1}c_{r+1}-b_{r,r+2}c_{r+2}-\cdots -b_{r,n}c_n\\ c_{r+1}\\ \cdots\\ c_n\\ \end{array} \right) =c_{r+1}\left( \begin{array}{c} -b_{1,r+1}\\ -b_{2,r+1}\\ \vdots\\ -b_{r,r+1}\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \end{array} \right) +c_{r+2}\left( \begin{array}{c} -b_{1,r+2}\\ -b_{2,r+2}\\ \vdots\\ -b_{r,r+2}\\ 0\\ 1\\ \vdots\\ 0\\ \end{array} \right) +\cdots +c_n\left( \begin{array}{c} -b_{1,n}\\ -b_{2,n}\\ \vdots\\ -b_{r,n}\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\ \end{array} \right) \\ &=c_{r+1}\boldsymbol{\eta}_{1} + c_{r+2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots + c_{n}\boldsymbol{\eta}_{n-r} \end{aligned} η=⎝ ⎛−b1,r+1cr+1−b1,r+2cr+2−⋯−b1,ncn−b2,r+1cr+1−b2,r+2cr+2−⋯−b2,ncn⋯−br,r+1cr+1−br,r+2cr+2−⋯−br,ncncr+1⋯cn⎠ ⎞=cr+1⎝ ⎛−b1,r+1−b2,r+1⋮−br,r+110⋮0⎠ ⎞+cr+2⎝ ⎛−b1,r+2−b2,r+2⋮−br,r+201⋮0⎠ ⎞+⋯+cn⎝ ⎛−b1,n−b2,n⋮−br,n00⋮1⎠ ⎞=cr+1η1+cr+2η2+⋯+cnηn−r
我们先是证明了 η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r 线性无关，又证明了任意的 η ∈ W \boldsymbol{\eta} \in W η∈W 可由 η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r 线性表出，因此 η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r 是 W W W 的一个基。
因此， η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r 是 W W W 的一个基，从而 dim W = n − r \dim W=n-r dimW=n−r。这样，我们便证明了定理 1。
定理 1：设数域 K K K 上的 n n n 元齐次线性方程组 ( 1 ) (1) (1) 有非零解，则其解空间 W W W 的维数为：
dim W = n − r a n k ( A ) . \dim W = n - rank ~(\boldsymbol{A}). dimW=n−rank (A).
习惯上，将解空间 W W W 的一个基，称为齐次线性方程组的一个 基础解系。
显然， η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r \boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r} η1,η2,⋯,ηn−r 是齐次线性方程组 ( 1 ) (1) (1) 的一个基础解系，因此 ( 1 ) (1) (1) 的全部解可表示为：
{ k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n − r η n − r ∣ k 1 , k 2 , ⋯ k n − r ∈ K } : = < η 1 , η 2 , ⋯ , η n − r > . \left\{ k_1\boldsymbol{\eta }_1+k_2\boldsymbol{\eta }_2+\cdots +k_{n-r}\boldsymbol{\eta }_{n-r}\mid k_1,k_2,\cdots k_{n-r}\in K \right\} :=<\boldsymbol{\eta }_1,\boldsymbol{\eta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\eta }_{n-r}>. {k1η1+k2η2+⋯+kn−rηn−r∣k1,k2,⋯kn−r∈K}:=<η1,η2,⋯,ηn−r>.