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均方误差准则(MSE)和LMS算法

5.5.2均方误差准则(MSE)和LMS算法

引言：均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响，使其最小化。

本节讨论问题：

均方误差准则；

无限长LMS均衡器(C(z)，Jmin)；

有限长LMS均衡器(Copt，Jmin)；

LMS算法；

均衡器的操作；

递推LMS算法收敛特性的分析。

一. 均方误差准则

信息符号的估计值： (无限长均衡器情况)

其中，接收数据样本为：，为白噪声。

估计误差：

定义：估计值为均衡器的性能指数。

均方误差准则：使均方误差性能指数最小()，此准则同时考虑使ISI及噪声影响最小。

获得的途径：调整，当时，(最佳抽头系数)

寻找的方法：1)根据正交性原理(线性均方估计)：。(注：与ZF准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本，这就包含了噪声)。即。

2)求函数极值方法：令

2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。

这两种方法是等价的，证明如下。

证明：求导置零方法与正交性原理等价。

假如均衡器为有限长，则

其中

，以及

。

故

另一种方法：

可见，是的平方函数(二次型)。求导置零可得：

即，

，

结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE。

二、无限长LMS均衡器(性能)

1. 求：从正交原理出发，

(10-2-27)

即

即

(*) 正交条件

注: 是收数据样本，其中的噪声已经白化。

在(*)式左边可以得到：

式中利用了。

注：都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。

因此我们有：

(A)

注：，代表了序列的共轭颠倒序列。或者说代表了的MF(零时延)。

(注：令)

故

，其支撑为：

或者说，可以得到

也可以写为

(*)式右边：

式中，

由此可得

(B)

将(A)、(B)两式代入(*)式：

上式就是:

取Z变换： (10-2-31)

则MMSE均衡器 (10-2-32)

等效MMSE均衡器： (10-2-33)

求(最小均方误差)

时域

利用正交原理第二项为零，所以

(利用(B)式)

令信息符号的平均功率为1，则

(2)频域

通过z变换及令将式的

全传输系统响应： (10-2-35)

以z反变换(留数法)求：

(10-2-36)

(10-2-37)

代入 ，得

将以信道折叠谱表示。因为

的傅里叶变换为，故

又

所以

(10-2-18)

所以

(10-2-38)

所以，当ISI=0时， (10-2-39)

因，故,，利用正交原理，易证：

，即。

输出SNR: (10-2-40)

三、有限长LMS均衡器 (, )

均方误差：

求：无限长均衡器

仿上面无限长均衡器的推导：

根据正交条件：

令

则 (注: 的支撑为。)

令

得 (10-2-43)

矩阵形式： (10-2-46)

所以， (10-2-47)

说明：, 为有个元素的列向量

为(2K+1)×(2K+1)的Hermitian矩阵。

因为自相关函数且，所以中元素满足。是共轭转置阵(Hermite)阵。

2、求均衡器的性能即求最小能达到的均方差：

前已经证明

将代入式：

(10-2-48)

注：的支撑为。

工程实用方法： 采用简单的迭代过程——最速下降法。

LMS算法：

内容: a)算法： (理论算法)

b)梯度：

c) 工程实用算法：

d) 均衡器结构：图11-1-2

算法：LMS算法是一种最陡下降法，其实质是一个迭代过程，而迭代过程是通过递推运算来进行的。

设有(2K+1)个抽头

递推运算：

每次迭代变化量：

令

则

或矩阵形式： ，

式中为调节阶距(步长)注：可以看到，

即强制要求抽头系数向着误差下降的方向变化。

则

或矩阵形式： ，

式中为调节阶距(步长step)，其中