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均方误差准则(MSE)和LMS算法

5.5.2均方误差准则(MSE)和LMS算法

引言:均方误差准则同时考虑ISI及噪声的影响,使其最小化。

本节讨论问题:

均方误差准则;

无限长LMS均衡器(C(z),Jmin);

有限长LMS均衡器(Copt,Jmin);

LMS算法;

均衡器的操作;

递推LMS算法收敛特性的分析。

一. 均方误差准则

信息符号的估计值: (无限长均衡器情况)

其中,接收数据样本为:,为白噪声。

估计误差:

定义:估计值为均衡器的性能指数。

均方误差准则:使均方误差性能指数最小(),此准则同时考虑使ISI及噪声影响最小。

获得的途径:调整,当时,(最佳抽头系数)

寻找的方法:1)根据正交性原理(线性均方估计):。(注:与ZF准则不同的是,这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本,这就包含了噪声)。即。

2)求函数极值方法:令

2013年5月3日星期五上午讲于此处,已经是第十次矣。

这两种方法是等价的,证明如下。

证明:求导置零方法与正交性原理等价。

假如均衡器为有限长,则

其中

,以及

另一种方法:

可见,是的平方函数(二次型)。求导置零可得:

即,

结论:求导方法与正交性原理是等价的,满足正交条件,就可以获得最小MSE。

二、无限长LMS均衡器(性能)

1. 求:从正交原理出发,

(10-2-27)

(*) 正交条件

注: 是收数据样本,其中的噪声已经白化。

在(*)式左边可以得到:

式中利用了。

注:都是Kroenecker冲激或离散冲激的不同写法。

因此我们有:

(A)

注:,代表了序列的共轭颠倒序列。或者说代表了的MF(零时延)。

(注:令)

,其支撑为:

或者说,可以得到

也可以写为

(*)式右边:

式中,

由此可得

(B)

将(A)、(B)两式代入(*)式:

上式就是:

取Z变换: (10-2-31)

则MMSE均衡器 (10-2-32)

等效MMSE均衡器: (10-2-33)

求(最小均方误差)

时域

利用正交原理第二项为零,所以

(利用(B)式)

令信息符号的平均功率为1,则

(2)频域

通过z变换及令将式的

全传输系统响应: (10-2-35)

以z反变换(留数法)求:

(10-2-36)

(10-2-37)

代入 ,得

将以信道折叠谱表示。因为

的傅里叶变换为,故

所以

(10-2-18)

所以

(10-2-38)

所以,当ISI=0时, (10-2-39)

因,故,,利用正交原理,易证:

,即。

输出SNR: (10-2-40)

三、有限长LMS均衡器 (, )

均方误差:

求:无限长均衡器

仿上面无限长均衡器的推导:

根据正交条件:

则 (注: 的支撑为。)

得 (10-2-43)

矩阵形式: (10-2-46)

所以, (10-2-47)

说明:, 为有个元素的列向量

为(2K+1)×(2K+1)的Hermitian矩阵。

因为自相关函数且,所以中元素满足。是共轭转置阵(Hermite)阵。

2、求均衡器的性能即求最小能达到的均方差:

前已经证明

将代入式:

(10-2-48)

注:的支撑为。

工程实用方法: 采用简单的迭代过程——最速下降法。

LMS算法:

内容: a)算法: (理论算法)

b)梯度:

c) 工程实用算法:

d) 均衡器结构:图11-1-2

算法:LMS算法是一种最陡下降法,其实质是一个迭代过程,而迭代过程是通过递推运算来进行的。

设有(2K+1)个抽头

递推运算:

每次迭代变化量:

或矩阵形式: ,

式中为调节阶距(步长)注:可以看到,

即强制要求抽头系数向着误差下降的方向变化。

或矩阵形式: ,

式中为调节阶距(步长step),其中

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