大物狭义相对论中的四维时空与闵氏时空图（上）

关于大学物理中狭义相对论与闵氏时空的学习心得（上）。（文章用于练习写论文）

引言–
在学习大学物理C时，其中提到了狭义相对论的公理假设。
其中提到“对于任意惯性参考系，观察到的光速是相同的，均为C。（3*10^8）”。出于好奇心，我开始对其原因进行探讨并对狭义相对论以及闵氏时空有了一个初步的了解，基于此来应用闵氏时空来解释一些狭义相对论中的现象。

相关理论

相关理论–
我们知道，人类是生活在思维时空中的三维生物，即我们人类认知可以理解到的维度是三维。而狭义相对论中的种种现象，则是四维时空下规律的体现。下面我将就我最近的学习结果对闵氏几何，四维时空，时空图与狭义相对论进行一些简单叙述。
在我们平时的认知中（牛顿构建的绝对时空观下），时间是绝对的，而空间是相对地。但爱因斯坦的相对论告诉我们，时间也是相对地。当我们速度足够大的时候，时间对你来说过去了1秒，对于我来说可能只过了0.8秒。事实上，生活中无时无刻不在发生着相对论效应，只不过由于我们的速度相对光速来说过小导致现象不够明显观察不到。

1.闵氏几何

由于本人所学有限，在这里我们只对闵氏几何部分内容进行简单介绍。我们知道，在二维平面中，我们在计算两点之间连线长度时，可以将两点放入一个二维平面坐标系中，利用坐标进行勾股定理进行计算。即二维平面中，欧氏几何的数学规律适用。而到了三维空间，曲面中，勾股定理不再使用，欧氏几何也不在完全适用。出现了非欧几何等新的数学规律。那么同样的，到了四维时空中，我们自然而然的就会想构建一个新的数学规律来描述四维时空中的现象。这就是闵氏几何。我们知道二维平面中，有勾股定理：a²=b²+c²。而在四维时空中，计算线段长度也有一个公式：a²=b²-c²。（如果你想更深一步了解，实际上这是四维时空中一个马鞍形的曲面与平面的交线——双曲线上的的点到某点的距离公式。）

2.四维时空中的速度

我们知道，在狭义相对论中，物体运动在不同参考系中的转换满足洛伦兹变换。在洛伦兹变换公式中的分母 a=（1-(v/c)²）^{1/2。这里我们记v/c为b，做一个简单的变换，就可以得到一个单位元：a²+b²=1。我们把a作为纵轴，b作为横轴建立一个二维坐标系。在这里，我们结合相对论的一些知识可以知道，a实际上就等于发生相对论效应时，时间膨胀后与时间膨胀前的比值，即t‘/t，b=v/c。二者均为比值，没有实际意义。这里我们给横纵轴都乘一个ct得到纵轴act，横轴vt，此时这个圆的半径也变成了ct。在这个坐标系中，ct就是四维时空中的四维速度，是光速（**定值，是一个张量。注意与我们平时说的光速区分。**）。而这个速度在vt轴上的投影就是三维空间中的空间速度，在act上的投影就是时间速度。这里我们就从更高维的角度认识到了实际上我们的速度是四维时空速度的在三维的一个投影，就像xyz坐标系（三维）中的向量往x轴（二维）投影一个道理。而对于三维中观察到的光速=时空速度光速，也就是说光速是一个在act轴没有分量（时间速度为0）的时空速度，它的时间流逝速度为0。这就是我们说的，当物体以光速运动时，四维速度全部分配到了空间速度上，时间速度为0，在我们看来物体的时间就不在流逝而是静止了。另外，对于任意一个参考系，我们观察到的一个于时间轴分量为0的速度就等于c（四维）*cosy（y为四维速度与横轴夹角）=c=3*10}8。这就是为什么对于任意参考系，光速（空间速度）不变。同时，这个坐标系也告诉我们了在四维时空中，时间和空间时平权的，我们在四维时空中既在空间中运动也在时间中运动。既然空间是相对的，那么相对论认为时间也是相对的也就显得合情合理了。此外，这个圆还告诉我们，我们在四维时空中都以同一个四维速度（光速）运动。当我们的空间速度增大，也就是四维速度在横轴分量增大，自然在时间轴上的时间速度减小，也就是我们的时间流逝会慢，这就是相对论中的钟慢现象。

3.闵氏时空图

在了解了上述内容之后，我们开始介绍闵氏时空图。时空作为一个四维概念，我们不便于在纸上画出来分析。这里我们将xyz统一视为“空间”设为x作为横轴，将时间t作为纵轴，这样我们就实现了将四维时空降维为了二维来在坐标纸上表示出来。这就是闵氏时空图。在这个时空图中，一个单位每时每刻运动轨迹的连线代表了这个单位的“世界线”。这条线记录了单位在四维时空中的运动历程。而世界线的长度，就代表了单位经历的时间间隔（也就是我们所说的时间）。这里你可能会问，既然t作为纵轴，为什么t坐标的变化不代表物体经历的时间？这就是你又犯了把二维观念带到四维中的错误。首先我们看，当我们以自身为参考系时，我们在空间中的运动为0，那么我们自己只有在时间上的运动，这时，我自己的世界线就是一条重合于纵轴的线段，那么这条线段的长度（t坐标）就代表了我经历的时间。切换参考系，我的世界线不再是重合于纵轴，这时再以t坐标代表我经历的时间就显得不合理了。
*所以在时空图中，t坐标实际上是代表了以我自己为参考系时我经历的时间。而其他物体的时间则为世界线的长度。（如果你还不能理解，你大可以把这当作一条公理，就像直角三角形满足勾股定理一样，没有为什么，这是上帝创造世界的源代码。）那么我们想算一个物体经历的时间，就要算他的世界线长度。为了方便计算，我们取自然单位，这时光速就从310^8（以米每秒做单位）变成了1（自然单位）。如何计算呢？如果你想的是用坐标的勾股定理，那么你又犯了用二维计算四维的错误。还记得前面提到的闵氏几何吗？是的，这里世界线的长度计算需要用到闵氏几何。这里直接给出结论，自然单位制下，世界线的长度=根号下（t²-x²）。形式与勾股定理很相似。也许你又想问为什么，就像二维到三维一样，三维到四维我们同样需要一个新的数学规律，这个规律就是闵氏几何。由于世界线长度是以减法计算的，我们可以得到一个有趣的结论：时空图中直线反而比曲线要长。
另外我们对速度的定义为x/t，这在四维中仍然成立，故时空图中，x/t就等于速度，而对于光速等于1时，x/t就是自然单位下时空图中t=x与t=-x这两条线。这两条线围成的锥形叫做光锥，其中x轴上半部分的叫做未来光锥。由于我们生活中一切信息的传递都小于等于光速，所以现实中任何事物的世界线都在这个光锥内，即斜率大于1。这个图也可以解释为什么光速运动时，时间静止。当光速运动时，我们的世界线即为：t=x这条线，其时间间隔的平方▲t²=t²-x²=0。所以光速运动时，感觉到时间静止。

结尾

对于对科普有兴趣的人，补充一点最近看到的：在理论上，一切可以传递信息的单位速度均小于光速。而当速度达到光速时，时间就会静止。当速度超过光速时，有推测时间会倒流。
在五维参考系中 ，在反世界中反物质的运动速（即反速度或负速度）一旦超过光速，其便会时空快流而来到我们身边的这个现实世界（即正世界），对于反物质来说其已跨越到未来时空了！

在下一篇中，我将运用这些理论定性的分析一些简单的相对论问题（穿越未来）。
本人知识有限，内容均根据大物C所学以及网上其他资料了解，如有错误请指出。
作者：地大停车第二帅的人