机器人学 刚体运动和齐次变换的一些问题

1.关于坐标变换的简单介绍

    我们利用矩阵表示位置，用于对空间中的物体各个位置点进行标识。

    方向表示，相对于参考系｛A｝，坐标系｛B｝的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量和旋转矩阵描述。那么我们在进行坐标变换时，可以用公式

进行复合变换。

2.齐次坐标变换

已知一直角坐标系中的某点坐标，则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过 齐次坐标变换 求得。

齐次坐标提供了用 矩阵运算 把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。

 对于齐次坐标的变换我们可以看作和普通运算是等价的，只不过增加了一维度，等价原因可以通过线性代数知识自行运算证明。

3.静态坐标系和动态坐标系的异同

本篇博客主要用于阐述此问题。

①对于某固定或移动坐标系，先旋转后平移和先平移后旋转的区别：

 设坐标系静态，若先旋转，后平移，平移的位移量仍然是相对于固定的坐标系进行的移动，因此开始旋转的角度不对其产生影响，所以结果为

图1

对应的，若是先平移，后旋转，平移的位移量经过了旋转后的变化，相对于原固定的坐标系就会有一个权值对其发生了改变，这个权值就是旋转矩阵，所以我们得到如下结果

图2

显然，先平移后旋转和先旋转后平移是有区别的。

②静止系和运动系的区别：

根据教材，我们可以得知对于固定系，我们是将从右往左进行运算，即先进行的动作放于左侧，对于运动系我们从左往右进行运算，举例如下：

这是一个静止固定系，所以要从右向左进行计算。

那么对于静止系和运动系，我们各自进行利用公式计算，可以总结出如下四点：

（1）静止系先平移后旋转，对平移量有影响，公式见图1

（2）静止系先旋转后平移，对平移量无影响，公式见图2

（3）运动系先平移后旋转，对平移量无影响，公式见图2

（4）运动系先旋转后平移，对平移量有影响，公式见图1

在此对运动系做出一些解释，我们在运动系求得的坐标，是相对于初始坐标系的坐标，所以如果先平移后旋转，已经在初始坐标系平移的量已经确定，不会再受到转动的影响，而转动后，再进行平移的量，相对于初始坐标系平移的数值不同，也需乘以旋转矩阵的权值。

③一些习题易错情况

计算问题的复杂度是一个问题，对于矩阵的计算需要细心解决

接着是坐标点的位置，切记一定要放置于右侧，且坐标矩阵转化为齐次矩阵时要全补1，和旋转矩阵补0001不同

对于动态系先旋转后平移的情况，是Rab × Trans的公式，此处转化为齐次矩阵后，并得到Tab后，左上角为旋转矩阵，下方为补齐的0001，而右上方是在单位矩阵和旋转矩阵、平移量共同计算后得到的新值，此处需要牢记。静态系的话不会影响平移量，因此可以直接补齐矩阵。