POJ 3088【组合数学DP】

题目:http://poj.org/problem?id=3088

题意:

　　给出一个整数B (1<=B<=11), 表示有1 2 3 ... B 这B个数, 可选择其中的N (1<=N<=B)个数(不用按顺序), 并用若干个括号将它们括起来.

　　　　如B = 2 时:

　　　　　　有 (1), (2), (12), (1)(2), (2)(1) 这5种情况

　　要求出所有情况的总数.

解题思路:

　　看懂题意后, 马上做的是找算公式找规律, 但式子很复杂. 半途而废了. 后来找出了一条DP式如下:

　　　　设D[i] 表示有 i 个数时可以组成的所有情况总数

　　　　那么有

　　　　　　D[i] = C(i, 1) * D[1] + C(i, 2) * D[2] + .. C(i, i - 1) * D[i - 1] + 1;

　　　　(从别算出从i 个数中选取 k个的取法总数, 即C(i, 1), 而前边已算出D[k]的个数, 那么从i个数中选取k个数之后用括号括题来的总数为C(i, k) * D[k]).

　　　　其实上面的递推式是错误的, 比赛时也因为推出D[2] = 3, 与正确答案5不同, 所以放弃了这题. 想想可惜了.

　　　　上面的式子忽略了从i个数中选取i个数的情况, 也就是 +1是错误的, 正确应该是+2＾i - 1．

#include <iostream>

#include <cstdio>



using namespace std;



const int MAX = 20 + 1;

__int64 C[MAX][MAX];

__int64 D[MAX];

__int64 Dec;

int main()

{

	int i, j;

	for(i = 0; i < MAX; ++i)

		C[i][0] = 1;

	for(i = 1; i < MAX; ++i)

	{

		for(j = 1; j <= i; ++j)

		{

			C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];

		}

	}

//	printf("%d\n", C[2][1]);

	D[1] = 1;

	Dec = 2;

	for(i = 2; i < MAX; ++i)

	{

		Dec = Dec << 1;

		for(j = 1; j < i; ++j)

		{

			D[i] += C[i][j] * D[j];

		}

		D[i] += Dec - 1;

	}

	int n, N;

	scanf("%d", &n);

	for(i = 1; i<= n; ++i)

	{

		scanf("%d", &N);

		printf("%d %d %I64d\n", i, N, D[N]);

	}

	return 0;

}