概率题, since 2020-09-23

(2020.09.23/29/30 Wed/Tues/Wed)

Case 1 Random Walk 随机游走问题

无限制随机游动
质点初始时刻 位置为0，每个时刻向左或向右移动一个距离，以或的概率。在时位于的概率是多少？
最终位置为，则向右移动的次数比向左移动的次数多次。设向右移动次，向左移动次，有

则有和
注意到和的奇偶性相同。
利用二项分布可得到，
当和的奇偶性相反，概率为0。

两端带有吸收壁的随机游走
假定质点在时刻时，位于，在和处各有一个吸收壁，求质点在或被吸收的概率。(差分方程)
解决方案：
记为质点的初始位置为且最终在点被吸收的概率，显然有。
如果某质点位于，，则它要被吸收，有两种方式来实现：1) 接下去的一次移动是向右而最终被吸收，2) 接下去的一次移动是向左而最终被吸收。按全概率公式，有，其中的分别是每一步向左和向右的概率，且有。
该公式可改写成
若记，，于是又可以写成
下面分两种情况解决，
(i) ，即，也对称随机游动的场合。此时，，即
则
由于，有
(ii) ，即的场合，有
从而
由于，故有
因此

由代入该方程可以得到所求。

(2020.09.28 Mon)

Case 2 硬币头像期望问题(该题同时出现在动态规划部分)

硬币均匀，分为头像和数字两面，抛硬币两面分别有50%的概率。求连续5次得到同一面A需要抛次数的期望。
分析：设是连续抛出n次A面时抛次数的期望。当连续出现次A面时，下一步可能出现两种情况，即A或B，各有50%概率。当与上一次的面相反，则截止到第次连续得到A面之前的所有抛次数都无效，且之后的一次B面也无效，需要重新计算。于是有
推导得到。
下面计算。代表着抛出1次A面需要的抛次数期望。有可能第一次就抛出A面，或者前面次都是B面，到了第次是A面。可根据这个分析求得

有
其中的，而，于是有，，所以。

Case 2-1 生孩子的男女比例问题

(2020.10.17)
某个地方有奇特的生育传统，家里只要生了一个女孩，便会停止生育，如果生了男孩就继续生，直到生了一个女孩。问该地区男女孩的比例是多少？
计算各种男女孩比例家庭的概率：用表示有个孩子的家庭比例，如果只有1个女孩，则，如果有男有女，则男孩数目为。
, , , 。每个家庭只有一个女孩，则女孩总数目是。由等比数列求和公式，有。男孩总数目 。因此，女男的比例是1。

Case 3 两个独立分布的比较 (2020.09.30 Wed)

无限多个数据服从相同分布，从其中任取出10个数据组成A组和20个数据组成B组，A组中的最大值比B组中的最大值大的概率是多少？
(2020.10.17)
该问题等价于，在30个数据中有一个最大值，该最大值落入前10个数据的概率，显然。

Case 4 高速公路上看到车的概率

(2020.10.17)
高速公路上过车的概率是恒定，半小时内看到至少一辆车的概率是95%，求10分钟内看到至少一辆车的概率是多少？
解答：设10分钟内看不到车的概率是，根据半小时内看到至少一辆车的概率得到，可得到的值，而所求为。

(2020.10.18 Sun)

Case 5 生另一个性别的概率

一堆couple生了两个孩子，其中一个是女孩，另一个孩子是男孩的概率是多少？
生两个孩子的性别组合有四种可能(f,m),(f,f),(f,f),(m,m)。有三种情况有女孩，在这三种情况中，有男孩的情况只有一种，所以所求概率是。

Case 6 同时拿到两个King的概率

54张牌，分成18张一组的共三组，求两个King在同一组的概率是多少？
分析：想象这两个King捆绑在一起，作为一张牌。
总的分组个数，，两个King作为一张牌的分组个数，。所求概率是。

Case 7 有蓝色和红色各50个球，有两个不能见到内部的黑箱，如何分配两个箱子中的各色球，使得随机从黑箱中取到红球的概率最高？

一个黑箱中放1个红球，另一个黑箱中放50蓝和49红，取得红球的概率

Case 8 一个箱子里有N个球，每次取一个球并放回去，求每个球都被取出一次的期望。

该思路类似于动态规划。设表示有个球被取出过的条件下取出其他球还需要多少次。取到了一个被取过的球，需要的次数期望是；取到了一个没有被取过的球，需要的次数期望是。因此有

初始条件，，

Case 8-1：一个骰子抛出所有点数的期望次数是多少？

根据Case 8推出的公式可以算出结果。

Case 9：有三个点，随机置放在一个正方形的边上，求任意两点不在同一个边上的概率。

从四边中选出三边，三个点在三边上排列的个数设为，从四个边中选出三个边的可能个数是，不考虑是否在同一边的所有排列个数是，有 三个点不在一条边的总的可能是
总的可能
因此任意两点不在同一个边上的概率是
本题的关键点在于计算三个点在三边的个数时需要计算排列permutation，而非组合combination。

Case 9-1：一个班n同学，恰巧有两个人同天过生日的概率和至少两个人同天过生日的概率。

注意计算所有可能情况往往计算排列。
至少两人同天生日概率，使用排除法，即排除没有人同天过生日的概率
恰巧两个人同天过生日，相当于从n个人中找出两个人，这两人捆绑算作一个人，总人数变为n-1，再计算n-1个人没有人同天过生日的概率

Case 10： 抽同颜色牌

从52张牌中抽两张一样颜色的牌的概率。
思路1：只考虑某一种颜色的牌，从中抽两张，计算这种计数的比例。红牌的组合数因此相同颜色牌的组合数是
总的组合数是
所求概率即为
思路2：第一张牌是红色或黑色，则剩下的51张牌中有25个相同颜色的牌，于是抽两张同颜色牌的概率是

Reference

1 李贤平，概率论基础，高等教育出版社，2010年4月