常见分析方法 | PCA、PCoA和NMDS有什么区别？

核心思想-降维
首先我们要明白一个概念：降维。

无论是主成分分析（PCA）、主坐标分析（PCoA）、非度量多维尺度分析（NMDS），还是冗余分析（RDA）、典范对应分析（CCA）都属于降维排序分析方法。

之所以需要降维，是因为我们检测的样本中往往包含着上百种微生物，为了分析样本与样本间的相似性，我们需要将所有物种进行逐一对比，即以一个物种为一个维度进行比较，那么假设样本有100种微生物，我们就需要100维坐标才能够比较获得两个样本间微生物数据整体的相似性。

遗憾的是，我们无法理解100维的数据，因此我们需要借助降维的手段在低维平面上对目标数据进行排序，最大程度上使得相似的目标距离近，相异的目标距离远，方便后续的统计分析。（不禁想起《三体》中，银河系遭受二向箔武器打击，从3维跌落至2维，最终被拍扁成为一幅画的场景）。

该如何实现数据降维？降维过程可以理解为一个投影的过程，举例说明：如图1，共检测6个样本（S1-S6）的微生物数据，每个样本包含3种微生物（Sp.A、B、C），通过将三个物种转换为坐标维度，我们发现，在A轴这个投影维度上，6个样本数据区分效果最强，B轴上稍弱，而在C轴上所有点都在一个位置，区分不开，那么采用A轴和B轴为横纵坐标即可将原先三维的数据降维到二维平面上。

原文及参考链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/180284720?utm_source=wechat_session
http://www.360doc.com/content/18/0113/21/33459258_721682039.shtml
https://www.yunbios.net/h-nd-539.html

主成分分析_ade4_ggbiplot实操和解读：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a5455bb0102wzjr.html
http://blog.sciencenet.cn/blog-3334560-1238984.html?source=1

image.png

我们仅用中值绝对偏差(mad)大于0.5的6个OTUs进行主成分分析，即可将三组样品明显分开。图中向量长短代表差异贡献，方向为与主成分的相关性。可以看到最长的向量ASV_2与X轴近平行，表示PC1的差异主要由此菌贡献。其它菌与其方向相反代表OTUs间可能负相关；夹角小于90%的代表两个OTUs有正相关。

总结：
PCA主成分图中坐标轴PC1/2的数值为总体差异的解释率；图中点代表样品，颜色代表分组；箭头代表原始变量，其中方向代表原始变量与主成分的相关性，长度代表原始数据对主成分的贡献度。

做PCA，首先要构建特征/变量的协方差矩阵，然后对其特征值和特征向量进行排序，根据需要取前面最重要的部分，将后面的维数省去，可以达到降维，从而达到简化模型或对数据进行压缩的效果，同时最大程度的保持了原有数据的信息。

但是PCA原理主要是为了消除变量之间的相关性，并且假设这种相关性是线性的，对于非线性的依赖关系则不能得到很好的结果。同时PCA假设变量服从高斯分布，当变量不服从高斯分布（如均匀分布）时，会发生尺度缩放与旋转。