算法比赛——必备的数论知识

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一、欧几里得

求最大公约数的一种常用方法

public static int gcd(int a, int b) {
    return b != 0 ? gcd(b, a % b) : a;
}

二、扩展欧几里得

求x，y使得ax+by = gcd(a,b)

	public static int exGcd(int a,int b,int x,int y){
        if(b == 0){
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int d = exGcd(b,a%b,y,x);
        y -= (a/b)*x;
        return d;
    }

三、算术基本定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

证明参考：维基百科

四、线性筛选求质数

在O(N)的时间复杂度内，求出来1 ~ n中所有的质数，以及每一个数的最小质因子。

	private static void get_primes(int n) {
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
            for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
                /*
                  因为prime中素数是递增的，所以如果i%prime[j]!=0代表i的最小质因数还没有找到，
                  即i的最小质因数大于prime[j]
                  也就是说prime[j]就是i*prime[j]的最小质因数，于是i*prime[j]被它的最小质因数筛掉了
                */
                st[primes[j] * i] = true; // 把质数的i倍筛掉
                /*
                  如果当i%prime[j]==0时，代表i的最小质因数是prime[j]，
                  那么i*prime[j+k](k>0)这个合数的最小质因数就不是prime[j+k]而是prime[j]了
                  所以i*prime[j+k]应该被prime[j]筛掉，而不是后续的prime[j+k]，于是在此时break
                */
                if (i % primes[j] == 0) break; // 通过最小质因子来筛
            }
        }
    }

五、等差数列

这俩个数列，学过高中数学的应该都清楚，我就不加以证明了。

1246. 等差数列

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

/**
 * @Author 秋名山码神
 * @Date 2023/2/17
 * @Description
 */
public class Main {
    static int N = 100010;
    static int[] a = new int[N];
    public static int gcd(int a,int b){
        return b != 0 ? gcd(b,a%b) : a;

        //b!=0 , 递归计算gcd(b,a%b)
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        for(int i = 0; i<n; i++)
            a[i] = sc.nextInt();
        Arrays.sort(a,0,n);
        int d = 0;
        for(int i = 1; i<n; i++)
            d = gcd(d,a[i] - a[0]);
        if(d == 0){
            System.out.println(n);
        }else {
            System.out.println((a[n-1] - a[0]) / d + 1);
        }
    }
}

六、等比数列

P8636 蓝桥杯 2016 省 AB 最大比例

#include
#include

using namespace std;

const int N=110;

typedef long long LL;

LL x[N],a[N],b[N];
int cnt=0;

//假设原数列为 a,a*(p/q)^1,a*(p/q)^2,...,a*(p/q)^(n-1)
//假设抽取的数列  b0,b1,...,b(N-1)  (从小到大排好序了)
//  b1/b0,b2/b0,...,b(N-1)/b0-->  (p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)
//  我们要求的是：  （p/q）^k  (p/q)>1,所以使k最大，即求 x1~x(N-1)的最大公约数
//这里我们使用更相减损术，因为我们没有得到确切的x1~x(N-1)是多少，我们只有(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)这些的值

/*更相减损术：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。*/

//更相减损术总用较大的减去较小的
/*例子：
    98-63=35
    63-35=28
    35-28=7
    28-7=21
    21-7=14
    14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。*/

//我们这里要用更相减损术的是指数，所以要让(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)，两两计算，互除，除到结果为1,即x1=x2,此时幂次为0，结果为1，这其实就是y总的思路，再次感叹y总的才华
//把分子分母分别去算，结果是相同的因为，分子分母的幂次是相同的
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b? gcd(b,a%b):a;
}

LL gcd_sub(LL a,LL b)  
{
    if(a<b)  swap(a,b);  //更相减损术总是大减小（它们的底数是一样的）
    if(b==1)  return a;
    return gcd_sub(b,a/b);
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    for(int i=0; i<n; i++)  scanf("%lld",&x[i]);

    sort(x,x+n);

    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        if(x[i] != x[i-1])
        {
            LL d=gcd(x[i],x[0]);  
            a[cnt]=x[i] / d;  //得到x[i]/x[0]的分子
            b[cnt]=x[0] / d;  //得到x[i]/x[0]的分母
            cnt++;
        }
    }

    LL up=a[0],down=b[0];
    for(int i=1; i<cnt; i++)
    {
        up=gcd_sub(up,a[i]);  //两两求最大公约数
        down=gcd_sub(down,b[i]);
    }

    cout<<up<<"/"<<down<<endl;

    return 0;
}

七、组合计数

加法原理 ： 若完成一件事的方法有n类，其中第i类方法包括ai种不同的方法，且这些方法互不重合，则完成这件事共有a1+a2+…+an种不同的方法。
乘法原理 ：若完成一件事，需要n个步骤，其中第i个步骤有ai种不同的完成方法，且这些步骤互不干扰，则完成这件事共有a1a2…*an种不同的方法

排列数 ： 从n个不同的元素中依次取出m个元素排成一列，产生的不同排列的数量为：

组合数 ： 从n个元素中取出m个元素组成一个集合（不考虑顺序），产生的不同集合的数量为：

计算系数

//杨辉三角做法：
#include
using namespace std;
long long x[1010][1010];
int main()
{
    long long a,b,k,n,m;
    cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    x[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=k+1;i++) for(int j=1;j<=i;j++)
    x[i][j]=(x[i-1][j-1]*b+x[i-1][j]*a)%10007;
    cout<<x[k+1][m+1];
    return 0;
}

二项式做法

最后

数论的知识太多了，这是我最近三天想到的，后续有时间再补充吧！