【蓝桥集训】第二天——差分

作者：指针不指南吗
专栏：Acwing 蓝桥集训每日一题

做题过程中首先应该注意时间复杂度问题

1.改变数组元素

给定一个空数组 V 和一个整数数组 a1,a2,…,an。

现在要对数组 V 进行 n 次操作。

第 i 次操作的具体流程如下：

1. 从数组 V 尾部插入整数 0。
2. 将位于数组 V 末尾的 ai 个元素都变为 1（已经是 1 的不予理会）。

注意：

• ai 可能为 0，即不做任何改变。
• ai 可能大于目前数组 V 所包含的元素个数，此时视为将数组内所有元素变为 1。

请你输出所有操作完成后的数组 V。

输入格式

第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。

每组数据第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数 a1,a2,…,an。

输出格式

每组数据输出一行结果，表示所有操作完成后的数组 V，数组内元素之间用空格隔开。

数据范围

1≤T≤20000,
1≤n≤2×$10^5$ ,
0≤ai≤n,
保证一个测试点内所有 n 的和不超过 2×$10^5$ 。

输入样例：

3
6
0 3 0 0 1 3
10
0 0 0 1 0 5 0 0 0 2
3
0 0 0

输出样例：

1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0

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• 思路

• 对V进行 n 次操作，每次操作加个 0 ，即V一共有 n 个元素

第 i 次 把 V 末尾的 ai 个元素都变为 1，即 V 是由 0，1 组成

只要被操作过就是 1 ；

• 首先根据数据范围来分析时间复杂度，200010，应该是 n $lo{g}_2^n$ 或者 n 比较合适
• 用个一个数组来存某个元素操作的次数，超过 1 的输出 1，0就输出 0
• 对 区间 [ n - ai , n ] 统一加上 1，这里可以用差分
• 注意：每一组数据之后，要进行置零

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• 代码实现

#include
using namespace std;

const int N=2*1e5+10;
int a[N];

int main()
{
	int T;
	cin>>T;  // T 组测试数据
	while(T--){
		int n;  // n 个元素
		cin>>n;
		memset(a,0,(n+1)*4);  //置零操作，memset 或者是 for(快些)，sizeof b 会比(n+1)*4 慢很多 
		for(int i=1;i<=n;i++){    //输入数据
		
            int x;
            cin>>x;   
			int l=max(1,i-x+1),r=i;  
			a[l]++,a[r+1]--;  //记录V中元素被操作多少次   差分
		}   
			
		for(int i=1;i<=n;i++){
		    a[i]+=a[i-1];   // 为什么求前缀和数组，算的差分数组不是记录的 V 中元素操作的次数吗？
			cout<<!!a[i]<<' ';  // !! 运算，如果是0，则为0，如果是非0，则为1，也可以写特判
		}
		cout<<endl;
	}
	
	return 0;
}

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2.差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c表示将序列中 [l, r ]之间的每个数加上 。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000,

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例:

3 4 5 3 4 2

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• 代码实现

#include
using namespace std;

const int N=100010;
int a[N],b[N];

int n,m; //n 数组元素个数；m 表示操作次数

void insert(int l,int r,int c){
	b[l]+=c;   //对差分+c
	b[r+1]-=c;  //补丁
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		insert(i,i,a[i]);  //差分b 数组
	}
	
	while(m--){
		int l,r,c;        //对差分 b 操作
		cin>>l>>r>>c;    
		insert(l,r,c);   //对区间进行元素进行操作
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){    //求出原数组即前缀和a
		a[i]=a[i-1]+b[i];
		cout<<a[i]<<' ';
	}
	
	return 0;
} 

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3.差分矩阵

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，

其中 (x1,y1)和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 55 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000.

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

• 代码实现

  #include 
  
  using namespace std;
  
  const int N = 1010;
  
  int n, m, q;
  int a[N][N], b[N][N];
  
  void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
  {
      b[x1][y1] += c;
      b[x2 + 1][y1] -= c;
      b[x1][y2 + 1] -= c;
      b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
  }
  
  int main()
  {
      scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
  
      for (int i = 1; i <= n; i ++ )
          for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
          	scanf("%d", &a[i][j]);
          	insert(i, j, i, j, a[i][j]);
  		}
      
      while (q -- )
      {
          int x1, y1, x2, y2, c;
          cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
          insert(x1, y1, x2, y2, c);
      }
  
      for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
      	for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
          	b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
          	printf("%d ", b[i][j]);
  		}
      	puts(" ");
  	}
  	
  	return 0;
  }