计算机动画(一般参数曲线,Bezier立方曲线,双插值方法)

计算机动画(一般参数曲线,Bezier立方曲线)

1.简介：运动的错觉
•一系列单独的“图纸”播放足够快地说服了它正在看到连续运动
•示例：“赛马疾驰的动画顺序。 拍摄的照片Eadweard Muybridge（卒于1904年），于1887年在费城首次出版

1.1计算机动画
•计算机动画：动态场景的单个状态系列。
•场景状态：数字集
•动画：随着时间的推移更改数字: 示例编号：颜色，坐标，大小，速度，焦距，…
•在渲染后显示每个框架，以足够快的速度说服眼睛，它正在看到连续运动

2.动画控制
•动画技术不同：提供的参数; 由参数给出的控制
低级：指导，描述性或现象学模型，几何学
中级：动画级，生成或基于物理的模型，物理
高级：任务级别，行为模型，行为

2.1因果关系（Hegron和Arnaldi，92）
•描述性模型：没有知识的效果
•生成模型：描述产生效果的原因
•行为模型：模拟响应的生物的行为内部和外部刺激

2.2.低级控制
•随着时间的推移，对象参数明确更改: 示例：相机位置和控件，脸部的眼睛闪烁率，分层对象的关节角度
•密钥帧：在某些情况下指定属性。
•INBETWONDING：计算中间帧。
示例：插值2D位置:
•Given positions: (xi, yi, ti), i = 0,…,n
• Find curve Q(t) = (x(t), y(t)) such that Q(ti) = (xi, yi) (使用曲线在位置之间生成)
我们将首先查看线性插值，然后使用参数曲线进行插值

3.线性插值
示例：插值位置
•给定位置pi ：（ xi，yi，ti），i = 0，…，n
•对于前两个点：
Assume t0= 0 and t1= 1
X coordinate: x(t) = x0(1-t) + x1t
Y coordinate: y(t) = y0(1-t) + y1t
问题：跨密钥帧的非平滑运动
•示例：弹跳球 - 我们需要更好的东西
•示例：形状插值:
KeyFrames A和B, 两组之间的插值生产中间帧I
问题：相应的顶点;不同数量的顶点;避免形状之间的“争夺”
•示例：脸部变化
给定两组顶点Ai和bi,可以使用线性插值：
P = Ai(1-t) + Bit
i = 1…n
对于通过多个姿势Xi的面部动画，我们应该使用比线性插值更好的东西，并考虑更高阶的参数

选择“正确”参数
•示例：人类骨架
•皮肤顶点位置的线性插值导致骨骼长度缩短
•相反，使用关节旋转插入骨骼，然后添加皮肤
•仍然需要更好的方法来通过多个帧平滑插值

4.参数曲线
参数曲线在许多应用中使用：绘制包装； 可缩放字体（轮廓字体）; 飞行路径； 在路径之间
对于动画，我们可以使用
曲线以随着时间的流逝而变化，即在我们沿曲线时变化时，它会产生参数的值
要更改的示例参数：X位置或Y位置或Z位置，角度或高度或红色的数量或其他

•参数曲线可用于控制任何参数（q），因为它随时间变化，q = f（t）
•多个参数（a，b，c，d，…）可能需要多个曲线
例如 相机位置（3个参数），对象颜色（3个参数），层次对象的关节角度（n角），面姿势（n参数）

4.1不同种类的曲线
•许多不同种类的参数曲线 :
HERMITE，BEZIER，CATMULL-ROM，B-SPLINE，不均匀理性B-Splines（NURBS），…
•将细分线连接在一起以创建更长的曲线:
例如 分段立方花纹
•我们将重点介绍立方体曲线以插值密钥帧值

4.2线
•参数形式:Q(t) = at + b
•作为三个组件（3D）：
x(t) = axt+ bx
y(t) = ayt+ by
z(t) = azt + bz
•重新安排直观控制：
Q(t) = P0(1-t) + P1
t 0≤t≤1
where
a = P1- P0; b = P0

4.3一般参数曲线
• Linear: Q(u) = au + b
• Quadratic: Q(u) = au^2 + bu + c
• Cubic: Q(u) = au^3 + bu^2 + cu + d
• 三维曲线：用参数表示的三维曲线是一个有界的点集，可以表示成一个带参数的、连续的和单值的数学函数:
Plot x(u), 0≤u≤1
x(u) = axu^3 + bxu^2 + cxu + dx
y(u) = ayu^3 + byu^2 + cyu + dy
z(u) = azu^3 + bzu^2 + czu + dz

4.4有用的参数曲线
•正弦波：a = sin（t）:
For 0 ≤ t ≤ 1,
scale to 0 ≤ t ≤ 2π,
sin（t）给出了-1和+1之间的重复，平稳变化的参数
用它来控制最大值和最小值之间的角度

5.Bezier立方曲线
•重新排列一般立方参数曲线：
Q(u) = P0 (1-u)^3 + P1 3u (1-u)^2 + P2 3u^2 (1-u) + P3 u^3
•p0和 p3 曲线的端点
•P1和 P2控制曲线的形状

5.1 Matrix notation
• Rewrite as Q(u) = U B P

				-1  3   -3  1     P0
=(u^3 u^2 u 1){ 3   -6   3  0  }{ P1 }
				-3  3    0  0     P2
				1   0    0  0     P3

5.2 Tangents
Q(u) = P0 (1-u)^3 + P1 3u (1-u)^2 + P2 3u^2 (1-u) + P3 u^3
where a=-P0+3P1-3P2+P3, b=3P0-6P1+3P2, c=-3P0+3P1, d=P0
区分：Q’(u) = 3au^2+2bu+c
然后，将U分别设置为0和1：
Q’(0) = 3(P1-P0)
Q’(1) = 3(P3-P2)
这为我们提供了曲线端点的切线指示
•标准化以提供单位切线
•加入曲线段时很重要

5.3 3D
曲线的开始和结尾顶点是位于平行教的对面顶点由控制点形成
（1）立方体包含的曲线
（2）将多维数据集绘制成平行的方向会改变曲线
（3）用作控制点的顶点

5.4属性
•控制点的数量总是比程度大1
•全球控制:移动控制点并影响整个曲线
•凸壳属性:在控制点围绕凸面中包含的曲线
如果连接物体A内任意两点的直线段都在A的内部，则称A是凸的。任意物体A的凸壳是包含A的最小凸物体。像素化操作首先需找到二值图像中所有的连通区域，然后用这些区域质心作为这些连通分量的代表，即将一个连通 区域像素化位于区域质心的一个像素。我们总是希望像素化算法能够找到物体的质心来代表该物体，但在实际中，可能由于光照不均等原因导致图像在二值化，物体本身形状发生缺损，像素化算法就无法找到物体真正的质心。此时可适当进行凸壳处理，弥补凹损，算法会找到包含原始形状的最小凸多边形
•在仿射转化下不变:转换控制点，然后评估曲线

5.5加入bezier曲线段
Given two curves Si, Ri
• C^0/G0 continuity: S3= R0
• C^1continuity: (S3-S2) = (R1-R0)
• G^1continuity: (S3-S2) = k(R1-R0)
•导数连续性（C^1）对于动画很重要：
如果对象沿分段曲线以恒定的参数速度移动，则连接时不应突然跳跃
•对于其他应用，切线连续性（G^1）可能足够

5.6编辑加入Bezier曲线段
•控制点的约束复杂的运动分段曲线

5.8绘图曲线曲线
5.8.1迭代评估

•在U中的增量步骤，并在每次迭代中评估Q（U）
• 迭代：u+= step; 评估Q（u）； 绘制线
•优势：非常简单
•劣势：没有简单的方法来了解样品点有多好

5.8.2细分 - de Casteljau算法
•继续将曲线细分为两条曲线
•将一条曲线PI分为两条曲线Qi和RI，它们在联接中连续

在数值分析的数学领域中，De Casteljau的算法是评估以其发明家Paul de Casteljau命名的伯恩斯坦形式或Bézier曲线的多项式的递归方法。 De Casteljau的算法也可以用来以任意参数值将单个Bézier曲线拆分为两个Bézier曲线。
尽管与直接方法相比，大多数架构的算法较慢，但在数值上更稳定。

简述：假设控制多边形上的每一条线段上都有一个点 t ,（这个点可以从线段的起点移动到终点即 t 的值从0递增到1) 再将每条线段上的点 t 依次连接，形成新的控制多边形，一直循环，直到控制多边形为一条直线，则该直线上的 点 t 为Bezier曲线上的其中一个点。

用图形解释：
假设 t = 1/4 t∈[0,1] 即点 t 再每一条线段上的 1/4 处
分析与结论：
由此可知，当 t 值为固定值时，可以求出Bezier曲线上的一个点，则曲线可以用P(t)表示，此时 t 为变量，t∈[0,1] 。 P(t) 随着 t 的值变化而变化，从而得出很多的点，将这些点连接后就成为曲线。
由于用公式推导求出P(t)过于复杂，本人就简单分析如何求出 t 点坐标 的通项公式，因为在Unity中知道该通项公式就足够了。
已知一条线段的起点，终点坐标，然后用向量的减法即可轻易求出,求t 点坐标的通项公式为： （1 - t ）* P0 + t *P1 ,
其中P0为线段起点坐标，P1为线段终点坐标。
求其他线段点 t 坐标 也是用这个公式，这里就不证明了，通过这个公式，用代码中的循环语句求出每条线段上的 t 点 ，都放入一个集合中，通过这些点又形成了一个新的控制多边形，反复的求（递归），直到求出Bezier曲线上的点坐标。之后用循环再控制 t 的增量，求出P(t）。

注意：Bezier曲线的形状仅与控制多边形个顶点的相对位置有关，而与坐标系的选择无关。

•替代停止条件：
a）均匀的深度
b）曲线匹配线性标准
•在限制下，为每个子库绘制控制多边形: 如果控制顶点几乎是共线，则使用凸壳
•在某些设计情况下可能很有用，但是绘制曲线的效率低下

6.指定速度特性
•通用方法：双插值方法
•路径控制的一（或更多）曲线：
Q(u), 0<=u<=1
x(u), y(u), z(u)
•一条曲线以控制沿路径的速度：V(u), 0<=u<=1

6.1 双插值方法
•在时间t = 3时，密钥帧数为6;
•KEYFRAME 6对应于X值8；
•因此，在t = 3时，x值为8。