高中奥数 2021-07-04

2021-07-04-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题14）

平面上按如下方式给出一个螺旋放置的正方形系列:最初是两个正方形,这两个正方形有一条竖直的公共边,并排水平放置;第三个为正方形,紧贴着放置在前两个正方形上方,有一条边为前两个正方形各一条边之并;第四个为正方形,紧贴着放置在第一个和第三个正方形的左方,有一条边为那两个正方形各一条边之并;第五个为正方形,紧贴着放在第一、第二和第四个正方形的下方,有一条边为那三个正方形各一条边之并;第六个为正方形,紧贴着放置在第二、第三、第五个正方形的右方……每一个新的正方形与已拼成的矩形有一条公共边,该公共边上含有上一个正方形的一条边.试证:除了第一个正方形以外,所有这些正方形的中心统统都在两条固定直线上.

解

设所作的正方形依次为 这些正方形的中心依次为 ,为确定起见,设最初个正方形的中心为,,,.

于是,.正方形 的边长正好是菲波那契数列 注意到.

以下将分情形利用正方形的边长计算和,从而算出.

情形1 .,,.

情形2 .,,.

情形3 .,,.

情形4 .,,.

统观各种情形,可以判定:对于偶数n有,所有偶数编号正方形的中心全在过点且斜率为的直线上;对于奇数有,所有奇数编号正方形的中心全在过点且斜率为的直线上.

2021-07-04-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P79 习题15）

桌子上放着两堆重量和相等的硬币,第一堆硬币的个数是,第二堆硬币的个数是,.对于任意的不大于的自然数,按硬币重量自大至小的顺序,第一堆前个较重的硬币的重量和都不大于第二堆中前个较重的硬币的重量和.证明:对于任意正数,如果把两堆中每一个重量不小于的硬币的重量都按计算,那么,这样算出来的第一堆硬币的重量和都不小于第二堆硬币的重量和.

解

把第一堆枚硬币的重量依次表示为,把第二堆枚硬币的重量依次表示为.又设,(如果没有不轻于的硬币,则结论显然成立.)

这样,要证明的是:.设,即证,即证.

下面分两种情况:

若,则.(因为可由已知推出,而且.)

若,则相当于.这个不等式可由下式推出:,而.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P79 习题16）

、是互素的自然数,是大于1的自然数.找出满足的所有自然数,并给出证明.

解

设,其中与互素(不妨设),,是自然数.

显然,、中的任何一个都不能被整除.如果是偶数,则和被除的余数都是.这样,与的和除以的余数是,而不是的整数次幂.于是,推出矛盾,所以不是偶数.

如果是奇数且,则.这样,,.

以下证明:.因为可被整除,取代入后,可以认为.这样,,.要证明,只要证明,即证明.由于,则..不等式得证.

由恒等式推出:,而,且.

因此,如果中至少有一个不等号是严格不等号,那么式中的左端可被整除,但右端不能被整除,推出矛盾.

如果,那么,,且.故.