sympy实战
import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
def logistic4(x, A, B, C, D):
return (A-D)/(1+(x/C)**B)+D
def residuals(p, y, x):
A, B, C, D = p
return y - logisctic4(x, A, B, C, D)
def peval(x, p):
A, B, C, D = p
return logistic4(x, A, B, C, D)
A, B, C, D = .5, 2.5, 8, 7.3
x = np.linspace(0, 20, 20)
y_true = logistic4(x, A, B, C, D)
y_meas = y_true + 0.2 * np.random.randn(len(y_true))from sympy.parsing.sympy_parser import parse_expr
from sympy import plot_implicit
import numpy as nptemp3 = np.sqrt(3)
ezplot = lambda expr : plot_implicit(parse_expr(expr))
#3*sin(y)**2+cos(410*x)**2*cos(y)**2+2*1.732*cos(410*x)*sin(y)*cos(y)-4*(sin(410*x)+8)**2+sin(410*x)**2
string_math = "-3*cos(2*y)+0.5*(cos(2*x)+1)*(cos(2*y)+1)+2*{0}*cos(x)*sin(2*y)+3*cos(2*x)-1.5".format(temp3)
# string_math = "17 * x **2 - 16 *Abs(x)*y +17* y**2 - 256 "
print(string_math)
ezplot(string_math) -3*cos(2*y)+0.5*(cos(2*x)+1)*(cos(2*y)+1)+2*1.7320508075688772*cos(x)*sin(2*y)+3*cos(2*x)-1.5
np.exp(1)+np.pi5.8598744820488378
计算 2√ 小数点后一百位。
from sympy import *
sqrt(2).evalf(100) 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573
len(str(sqrt(2).evalf(100)))101
- 用有理数算术计算1/2 + 1/3 in rational arithmetic.
Rational(1,2)+Rational(1,3)5/6
3.2.2 代数运算
- 计算 (x+y)6 的展开。
- 化简三角表达式 sin(x)/cos(x)
#与其他计算机代数系统不同，在SymPy你需要显性声明符号变量: 不写会报错！！！！！！！！！！
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
expand((x+y)**6)x**6 + 6*x**5*y + 15*x**4*y**2 + 20*x**3*y**3 + 15*x**2*y**4 + 6*x*y**5 + y**6
simplify(sin(x)/cos(x))tan(x)
#化简是一个模糊的术语，更准确的词应该是：powsimp (指数化简)、 trigsimp (三角表达式)、logcombine、radsimp一起。
trigsimp(sin(x)/cos(x))tan(x)
3.2.3 微积分
在SymPy中使用极限很简单，允许语法limit(function, variable, point), 因此要计算f(x)类似 x→0 , 你应该使用limit(f, x, 0):
limit(sin(x)/x,x,0)1
(求导)你可以使用diff(func, var)微分任何SymPy表达式。例如:
diff(tan(x),x)tan(x)**2 + 1
你可以用下列方法检查是否正确:
limit((tan(x+y)-tan(x))/y,y,0) #倒数的定义！！tan(x)**2 + 1
用diff(func, var, n)方法来计算更高的导数:
diff(tan(x),x,2)2*(tan(x)**2 + 1)*tan(x)
SymPy也知道如何计算一个表达式在一个点的Taylor序列。使用series(expr, var):
series(cos(x), x)1 - x**2/2 + x**4/24 + O(x**6)
练习
计算 limx→0sin(x)/x
计算log(x)对于x的导数。
limit(sin(x)/x,x,0)1
diff(log(x),x)1/x
SymPy支持超验基础和特殊函数的无限和有限积分，通过integrate() 功能, 使用了强大的扩展的Risch-Norman算法和启发式和模式匹配。你可以积分基本函数:
integrate(6*x**5, x)x**6
integrate(sin(x), x)-cos(x)
也可以计算一下有限积分:
integrate(sin(x),(x,0,2*pi))0
integrate(sin(x),(x,0,pi))2
不标准积分也支持:
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))1
SymPy可以求解线性代数方程，一个或多个变量:
solve(x**4 - 1, x)[-1, 1, -I, I]
复合函数求解
solve([x + 5*x*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])[(-27/10 + sqrt(809)/10, 23/20 + sqrt(809)/20),
(-sqrt(809)/10 - 27/10, -sqrt(809)/20 + 23/20)]
求解超越方程（有限的）:
solve(exp(x) + 1, x)[I*pi]
多项式方程的另一个应用是factor。factor将多项式因式分解为可化简的项，并且可以计算不同域的因式:
f = x**4 - 3*x**2 + 1
factor(f)(x**2 - x - 1)*(x**2 + x - 1)
#SymPy也可以解布尔方程，即，判断一个布尔表达式是否满足。对于这个情况，我们可以使用satisfiable函数:
satisfiable(x & y){x: True, y: True}
#这告诉我们(x & y)是真，当x和y都是True的时候。如果一个表达式不是True，即它的任何参数值都无法使表达式为真，那么它将返回False:
satisfiable(x & ~x)False
3.2.4.1 练习
- 求解系统方程 x+y=2 , 2⋅x+y=0 （求解方程组）
- 是否存在布尔值，使(~x | y) & (~y | x)为真?
方程组有一组数值解
原方程组如下：
2x+3y+z=4
4x+2y+3z =17
7x+y-z=1
求解方程组的代码Python代码如下：
from sympy import *
a = Matrix([[2,3,1],[4,2,3], [7,1,-1]])
b = Matrix([[4],[17],[1]])
x = symarray(‘x’, 3)
solve(a*x-b)
执行以上代码得到
{x_1: -1, x_2: 5, x_0: 1}
求解存在自由变量的方程组
代码如下：
from sympy import *
a = Matrix([[3,0,-1,0],[8,0,0,-2], [0,2,-2,-1]])
x = symarray(‘x’, 4)
solve(a*x)
得到：
{x_1: 5x_3/4, x_2: 3x_3/4, x_0: x_3/4}
3.2.5.2 微分方程
SymPy可以解 (一些) 常规微分。要求解一个微分方程，使用dsolve。首先，通过传递cls=Function来创建一个未定义的符号函数:
In [38]:
f, g = symbols(‘f g’, cls=Function)
f 和 g是未定义函数。我们可以调用f(x), 并且它可以代表未知的函数:
In [39]:
f(x)
Out[39]:
f(x)
In [40]:
f(x).diff(x, x) + f(x)
Out[40]:
f(x) + Derivative(f(x), x, x)
In [41]:
dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
Out[41]:
f(x) == C1*sin(x) + C2*cos(x)
关键词参数可以向这个函数传递，以便帮助确认是否找到最适合的解决系统。例如，你知道它是独立的方程，你可以使用关键词hint=’separable’来强制dsolve来将它作为独立方程来求解:
In [42]:
dsolve(sin(x)*cos(f(x)) + cos(x)*sin(f(x))*f(x).diff(x), f(x), hint=’separable’)
Out[42]:
[f(x) == -asin(sqrt(C1/cos(x)**2 + 1)) + pi,
f(x) == asin(sqrt(C1/cos(x)**2 + 1)) + pi,
f(x) == -asin(sqrt(C1/cos(x)**2 + 1)),
f(x) == asin(sqrt(C1/cos(x)**2 + 1))]
练习
求解Bernoulli微分方程
$\frac{d f(x)}{x} + f(x) - f(x)^2=0$
使用hint=’Bernoulli’求解相同的公式。可以观察到什么?