k-m模型与多通道模型

《测色与计算机配色》：

• 多光通理论之所以未在仪器配色中取得实际效果，更主要的原因在于对配色精度的改善并不显著。
• 配色配方计算质量的好坏主要取决于描述反射、吸收和散射之间关系的算法的有效性。

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库贝尔卡-蒙克模型

颜料对入射光的散射和吸收而产生的漫反射光谱决定了漆膜的颜色。

Kubelka-Munk理论用于反射率的测量和计算。 最初的Kubelka-Munk理论描述了样品的反射率和透射率随吸收和散射的变化（分别为K和S），但其假设样品具有与空气相同的折射率，这些方程对于工业色彩匹配是不实用的。在1940年代，引入了Saunderson校正参数（Saunderson校正提出两个参数k1、k2来对K-M进行校正。参数k1描述了当进入样品的光在空气-样品界面处部分反射时的反射率；k2描述当离开样品的光在样品-空气界面处被部分反射回样品时的反射率。k1和k2是波长的函数，且会随着涂料的混合而发生变化），使得Kubelka-Munk方程在不透明样品中变得更加实用。

光通量转换示意图

根据应用的不同，K-M模型可被分为两类：

1. 单常数理论：单常数理论假设单个色料对样品的总散射没有显著贡献。单常数理论需要了解基底和每种色料在每个波长的单位比值K/S。
2. 双常数理论：如果假设散射来自两个来源，即着色剂和基质，则认为是双常数理论。对于不透明样品，散射系数随色料配方的不同而不同，因此需用双常数理论。对每种色料需要知道其K和S的单位值。

尽管许多着色剂可以具有非常低的吸收或非常低的散射，但是没有零吸收或零散射。因此在现实世界中没有单常数，总是双常数的。

K-M模型是双光通模型，即假设光线在介质内的运动方向（通道）只有两个，一个朝上一个朝下，并且垂直于界面。有不少研究人员把光线在介质内的运动方向或通道扩大为四个或六个，研究出多通道理论，得出所谓严格的反射率。但它们需要引进更多的系数并使计算复杂化，不像K-M理论只需要K和S两个系数。

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K-M理论的缺陷

K-M理论在建立时假定照明入射光为完全漫射光，光线在薄膜内必须被足够地散射，以致呈完全扩散的状态（漫射）。许多情况下，使用光谱光度计测量时，照明光不是漫射光而是垂直于薄膜表面的准直光。对于吸收光不多的厚膜，在光进入膜不太深之前很快就被完全散射，则遵从K-M理论。但是，如果膜很薄，以至于光没有足够散射或在散射前就被吸收，则会产生完全不同的结果。

• Optically Thin：观察到的散射光只散射一次; 样品中有大量未散射的光。
• Intermediate：大多数散射光已经散射多次，但样品中仍有一些未散射的光。
• Optically Thick：所有光都已经被散射多次。

另外，由于Kubelka-Munk方程的数学限制，颜料的K和S数据是相对于参考成分（通常是白色颜料）计算的。 通常，白色颜料的K和S可以通过双重测量（反射率和透射率或白色和黑色）来确定。这是在单个样品或一系列样品上以恒定的厚度和不同的白色颜料体积浓度进行的。当与其他着色剂组合考虑时，它可能导致不透明度和/或颜料比例的不准确计算。一些配色软件如Color iMatch就以绝对单位计算颜料K和S，且在不以白色为基底的情况下测量所有着色剂的K和S，提供了准确的不透明度和颜料比例预测。（这段还没搞懂）

传统模型的另一个重要缺陷是：从介质中透出的光线中，部分是经过反射（介质上下表面反射 & 介质基底反射）产生的，而这部分通量难以估计，导致反射率与散射之间的关系不够准确。关于反射率的准确计算，可以通过线性回归分析来实现。

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multi-flux / multi-channel

涂料薄膜介质的光学特性可以用辐射传递理论来解释。该理论的优点在于，可以通过在辐射传递计算中插入米氏理论参数来评估微粒系统的光学行为，那么辐射传递计算就可以根据粒子的尺寸和折射率来计算。

辐射传递理论的数学表达式非常复杂，难以用于技术应用，需要一些简化来使方程实际上有用。 这些方程的第一个有用的近似解是Schuster用来研究光在恒星大气中的传播， Kubelka和Munk进一步修改了这一点，以增加其技术应用的可能性。但K-M理论没有提出理论关系来从粒子的基本光学和形态特征计算K-M系数，因此尝试将K-M系数与Mie理论散射和吸收系数相关联。

multi-flux是一种适用于技术应用的简化多次散射的计算方案，其保留了辐射转移处理的本质，但在概念上和数学上更简单。对于多次散射介质，需要非常精细的计算来确定散射光的强度，偏振状态和角度分布；在颜色技术中，仅需要漆膜的漫射散射光的总强度。 多通量理论不考虑偏振状态（这是多通道理论唯一重要的假设）（振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，只有横波才能产生偏振现象。在垂直于传播方向的平面内，包含一切可能方向的横振动，且平均说来任一方向上具有相同的振幅，这种横振动对称于传播方向的光称为自然光或非偏振光；凡其振动失去这种对称性的光统称偏振光），而只给出由微粒系统散射的光的总强度， 因此，该理论非常适合研究颜料的光学和形态特性与漆膜所显示的颜色之间存在的复杂关系。

多通道理论物理模型

根据理论的物理模型，通过漆膜的光被分成大量的通道，每个通道覆盖从垂直到水平的不同角度范围。选择用于计算的通道总数是偶数，一半通道中，光被认为是向下行进，而另一半是沿向上方向行进。该物理模型的优点在于，给定通道中的整个光量以几乎相同的入射角接近散射介质的边界，因此，关于菲涅耳（注1）反射系数的正确值的不确定性很小。结果是，与K-M理论相比，M-F计算准确地确定了在漆膜边界内部反射的部分通量。

该物理模型的数学表示为：

F_i 代表通道 i 的单色通量；为每个通道写入的微分方程表示通过厚度dx的散射介质时通量dF的微分变化（ 每个通道中的通量由于来自其他通道的光的散射而增加，并且由于吸收和散射到其他通道而减少）。S_ijF_j代表从通道 j 散射到通道 i 的通量（i ≠ j）；S_iiF_i 代表通道 i 减少的总通量。

通过积分运算可得：

这里的λ_j和A_ij分别是矩阵S（由系数S_ij组成的n×n矩阵）的特征值和相应的特征向量，C_j则是由边界条件决定的常数。

推导过程

【注1】K = (n₁-n₂)² / (n₁+n₂)²，K为表面反射率，n₁、n₂分别为介质1、介质2的相对折射率

--- 米氏散射理论 ---
直径接近或大于入射光波长的粒子发生的散射称为米氏散射，其散射光强在各方向是不相同的，顺入射方向上的前向散射最强。Mie提出的米氏散射理论是对于处于均匀介质的各向同性的单个介质球在单色平行光照射下，基于麦克斯韦方程边界条件下的严格数学解。输入入射波长λ、介质球的折射率n与直径D，就可以根据米氏理论得出散射的光谱、角谱、方位角分布函数。

散射相位函数

可以使用Mie散射理论参数来求得系数S_ij的值（推导过程参见Multiple Scattering Calculations for Technology [PDF]）：

w_i为通道 i 的立体角，θ为通道角度，P_l(cosθ_j)为勒让德多项式，a_l称为Legendre系数，其值由以下公式决定：

ρ(cosθ_j)即为米氏散射理论的相位函数：

其中，α=2πr/λ，r 为颗粒半径。i₁(θ)与i₂(θ)是米氏理论强度函数。Q_sca为米氏理论散射系数的有效参数。另外：

k、s分别为吸收和散射系数，式子的第一项表示通道 j 中因吸收而减少的通量（s的出现是因为介质光学厚度与散射系数相关），式子第二项表示通道 j 中因散射到其他通道而减少的通量。其中：

x 为漆膜的光学厚度：

x_g是漆膜的几何厚度，s为其散射系数，c为涂料浓度。

常量C_j的值由边界条件确定，上表面的条件由入射光决定，下表面的条件由漆膜的基底决定。引入一下几个系数：入射光的D_i部分进入通道i，向上的光通在上层内表面发生反射，r_i部分的反射光进入通道i。假设漆膜的下表面下的基底处会发生R_s的镜面反射和R_d的漫反射，R_ik为通道k中的通量通过后表面时反射到通道i中的部分，R_ik与R_s和R_d的关系可以参见Multiple Scattering Calculations for Technology。系数D_i、r_i、R_ik和C_j、A_ij、x给出了一组方程式，以求得n个C_j的值。

总结：C_j、A_ij，l_j 和 x 共同确定每个通道中的通量，最终可得到漆膜的漫反射率。

假设介质边界是光滑的，当入射光为准直光时，可根据斯涅尔定律和菲涅耳方程来计算进入散射介质及其各个通道的光通量。当入射光为漫射光，一个解决方法是将入射光分为很多个通道（外通道），然后根据斯涅尔定律和菲涅耳方程来计算每个外通道的光有多少进入了散射介质及各个内通道。

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多通道理论的计算步骤

1. 首先进行相位函数的计算。相位函数由一系列勒让德多项式拟合，并进行归一化：

2. 选择一组通道，然后计算 ω_i、|cosθ_i| 、D_i 和 r_i 的值；
3. 计算矩阵元素 S_ij 的值：

4. 根据 S_ij 的值得到矩阵S：

5. 计算矩阵S的特征值和相应的特征向量。至此完成了多通量方程的一般解，其仅取决于相位函数和吸收散射系数。

6. 如果边界条件适用，则计算 R_ik 的值：

或

7. 计算出由边界条件决定的常数 C_j 的值：

8. 现在可以估算出介质中任何位置任何通道中的通量。如果存在菲涅尔表面反射，则在计算从介质中透出的通量时需要将其考虑在内，这是根据系数 r_i 逐通道计算的。

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多通道模型的局限

在多通道模型中，唯一重要的假设就是不考虑偏振。在很薄的聚苯乙烯胶乳悬浮液散射的光线中，偏振效应十分明显，在这种情况下，多通道模型准确性不高。但由工业白涂料引起的偏振则很小，因此无论光学厚度如何，都可以忽略偏振。

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4-flux

库贝尔卡-蒙克模型（2-flux）只考虑两个通道，一个通道包含正向的漫反射通量，另一个通道包含反向传播的漫反射通量。当光源类型是准直光而非漫射光时，计算的精确度可以通过为非散射准直通量增加额外通道来提升。这即是四通道模型出现的原因。

四通道模型示意图

如果通道1、4有非常小的立体角，则经过散射进入1、4通道的通量可以忽略不计，即 S₁₂ = S₁₃ = S₁₄ = S₄₁ = S₄₂ = S₄₃ = 0.

介质的对称性使得 S₂₁ = S₃₄ = S₁，S₃₁ = S₂₄ = S₂，S₂₃ = S₃₂ = S.

则4个通道的通量有以下关系：

其中，k为通道1、4中准直光通量的吸收系数，K为通道2、3中的吸收系数。可知转换矩阵 S 为：

按照之前多通道模型给出的计算公式，可求得各个通道的通量：

其中 ±λ 和 ±σ 都是矩阵S的特征值，A₁、A₂、β是特征向量中的元素，C_i 则是由边界条件决定的常数，

当入射光中不包含准直光，则C₁ = C₄ = 0，那么四通道模型就与双通道模型一样。

四通道模型的计算中出现了13个系数：S、S₁、S₂、K、k、r₃₂【通道2经介质内边界反射（可能还包括基底反射）进入通道3的通量】、r₂₃【通道3经介质内边界反射（可能还包括基底反射）进入通道2的通量】、R_e【漫射入射光在介质边界的镜面反射率】、R_c【准直入射光在介质边界的镜面反射率】、R_d【基底的漫反射率】、R_s【基底的镜面反射率】、f 【入射光中准直光的比例】和 X【介质厚度】。其中，X、f、R_s、R_d 是输入值；R_c、R_e 经过简单计算可得；r₃₂、r₂₃这种内表面反射系数与介质内通量的角度分布有直接关系；剩下的系数就是描述对光的吸收与散射的系数。

k 是介质的真实吸收系数，在双通道模型的计算中得知，漫射光的吸收系数 K 约等于 2k，这个关系对于四通道模型依然适用。而漫射光的散射系数 S 与相位函数有关，经勒让德多项式表示后近似为：

S₁、S₂描述准直光经散射进入漫射光通道的通量，S₁描述了 0° 到 90°的散射，S₂描述了 90° 到 180°的散射，因此有：

S₁和S₂的和即为准直光的所有散射，即 S₁ + S₂ = s。将相位函数用勒让德多项式表示：

模型计算结果中，我们往往最关心透射率与反射率：

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（K-M模型中）K／S 与浓度 c 的关系

理论上，K／S 与 c 为线性关系，直线斜率为 k（单位浓度 K/S 值），但实际上，二者关系并不是完全线性：

出现曲线的原因有二：
① 存在色料样品的表面反射；
② 色料没有完全进入基底，例如当染料浓度增加至纤维的吸收达到饱和时，越来越多的染料被遗留在外；

对于原因一，测得的反射率比实际值高，因此K／S值比实际值低。一种修正方法是用测得的反射率减去恒定表面反射比值。另一种修正方法是引用桑德森修正系数K1、K2。具体步骤是：首先选择比较合理的K1、K2值，并把对于所有色料在所有强吸收波长处测得的反射率值Rm通过下述方程转换成R：

R =（R_m - K₁ ）/ (1 - K₁ – K₂ + K₂ R_m)

然后把所有R转换成K／S值；最后，对于每种色料在每个波长处计算出最好的直线关系，并确定K／S点和直线之间的均方根偏差，以此求得K1、K2值。按同样的方法反复运算，最后获得的K1、K2值使得直线与实验点之间的均方根偏差最小。

对于原因二，实际浓度偏低，因此K／S值比预想的低。可以用多项式来进行曲线修正：

K／S = a₀ + a₁ c + a₂ c² + a₃ c³

式中 a₁ 近似于单位浓度K／S值，其它常数 a₀、a₂、a₃ 用于修正曲线，常数值可以用回归法拟合求得。

【注】关于 K / S 与 c 的关系，在单常数或双常数场景下，都有不同的讨论，也有不同的修正方法，这里不多叙述，但可以将其作为修正配色模型的一个研究点。