2021-06-24-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P65 习题16）
对于任意正整数,记的所有正约数组成的集合为.证明:中至多有一半元素的个位数为3.
证明
考虑如下四种情况:
(1)能被5整除,设为中所有个位数为3的元素,则中还包括这个个位数为5的元素,所以中至多有一半元素的个位数为3.
(2)不能被5整除,但.仿(1)可证.
(3)不能被5整除,且的质因子的个位数均为1或9,则中所有的元素的个位数均为1或9.结论成立.
(4)不能被5整除,且,但有个位数为3或7的质因子,令,其中和都是正整数,和互质.设为的所有正约数组成的集合,将中的元素写成如下方阵:
对于,选择或之一与之配对(所选之数必须在中).设为所选之数,我们称为一对朋友.如果的个位数为3,则由的个位数是3或7,知的个位数不是3.假设和的个位数都是3,且有相同的朋友,则,因为的个位数为3或7,所以的个位数是9,而不能被5整除,故的个位数不为0,所以,的个位数不同,这与和的个位数都是3矛盾,所以每个个位数为3的,均有不同的朋友.
综上所述,中每个个位数为3的元素,均与一个中个位数不为3的元素为朋友,而且两个个位数为3的不同元素的朋友也是不同的,所以中至多有一半元素的个位数为3.
2021-06-24-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P65 习题17）
设.求最小正整数,使其适合要求:对的任何一个元子集,都存在(和可以相同),使得是2的方幂.
解
构造一个使题中要求不被满足且又含元素最多的例子,这个子集不能含2的任一方幂且每对数中只能有1个含在集中,令,则有.对任何、,不妨设且有,其中当分别取值10、5、4、3时,相应的a值依次为977、14、1、6.
对(1)若,(2)若,可证明不能是2的方幂.故知所求的最小正整数.
将划分成下列999个互不相交的子集:,,,,,,,.对于的任何一个999元子集,若,则从其中任取一个元素的2倍都是2的方幂;若,则W中的999个元素分属于前面的998个2元子集.由抽屉原理知W中必有不同的和,属于其中同一子集.显然,为2的方幂.故所求的最小正整数.
2021-06-24-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 集合的性质 P65 习题18）
平面内一个整点的有限集称为一个双邻集,如果对内每个点,恰有点、、、中的两点在内.问对怎样的正整数,存在一个双邻集恰包含个整点?
解
先证明结论:一个双邻集恰包含个整点,则必为偶数.
用线段连结中的相邻整点.因为中每一整点恰连出两条线段,因此,双邻集内全部整点可用连结相邻整点的线段组成有限个不自交的闭折线图形.在每一闭折线图形中,每两个相邻整点的横纵坐标之和只相差1,横纵坐标之和依次为偶数、奇数、偶数、奇数…… 交替出现.由于是闭折线,则任一个闭折线图形整点个数必为偶数个.
再证:和.
当时,2个整点显然无法构成一个双邻集.当时,由于3个及3个以下的整点无法组成闭折线图形,则6个整点要成为一个双邻集6个点组成的闭折线图形只能是图所示的两图形之一图中两图形显然都不是双邻集.
4个整点、、、恰组成一个双邻集(边长为1的正方形),则.
注意到10个整点、、、、、、、、、也组成一个双邻集(长为3宽为2的矩形边上的10个整点).
因此,当时,取个4整点组成的双邻集,每两个双邻集的距离(一个相邻集中任一点到另一双邻集中任一点距离的最小值)大于1,将这k个4整点双邻集合并为一个集合,这个集合当然是恰含4k个整点的双邻集.当时,由于,取个4整点组成的双邻集,取一个10整点组成的双邻集,每两个双邻集的距离大于1.将这个4整点双邻集与一个10整点双邻集合并为一个集合,这个集合当然是恰含个整点的双邻集.