基于FPGA实现正弦插值算法

1、正弦插值的算法分析

1.1 信号在时域与频域的映射关系

        在进行正弦算法分析之前,我们回顾一下《数字信号处理》课程中,对于信号在时域与频域之间的映射关系,如下图。

基于FPGA实现正弦插值算法_第1张图片

 基于FPGA实现正弦插值算法_第2张图片

        对于上图中的原始信号x(t),使用ADC对信号进行采样,即实现了时域信号的离散化,得到x[k]。根据时域与频域之间的映射关系:时域的离散化对应着频域的周期化,即x[k]的频域响应为X(e^{j\Omega })

        那么离散化的x[k]如何还原为原来的x(t)呢?时域上分析较为复杂,我们可以从频域上进行分析,即如何将频域响应X(e^{j\Omega })还原成X(jw)。这样就比较直观了,只需要截取X(e^{j\Omega })一个周期的信号,就可以还原成X(jw),示例如下图。

基于FPGA实现正弦插值算法_第3张图片

 1.2 sinc函数

         上面用到的窗函数,实际上是一个理想的低通滤波器,其时域形态是什么样子的呢?如下图。

基于FPGA实现正弦插值算法_第4张图片

        其时域形态公式:sinc(t)=\frac{sin(\pi t))}{\pi t} ,sinc函数在频域上是一个矩形的方窗,如下图。

基于FPGA实现正弦插值算法_第5张图片

 1.3 使用sinc函数实现正弦插值的算法分析

        综上所述,对于我们可以使用sinc函数实现离散信号还原为连续信号,即使用sinc函数实现离散信号的无限插值。

        而频域的乘积对应着时域的卷积,因此我们可以将离散的采样信号与sinc函数进行卷积运算,从而获得插值后的信号。

        y(n)=\sum x(\imath)h(n-\imath )

        其中,y(n)为插值后信号;x(n)为待插值的离散信号;h(n)为sinc函数,也称为插值核或者插值因子。

        假设有一个离散信号x(n),含有8个离散点,x(n)={-10,0,10,0,-10,0,10,0};如下图:

基于FPGA实现正弦插值算法_第6张图片

         我们使用前后共计8个原始采样点,来求插值点x(0.5)的数值。套用上面描述的公式y(n)=\sum x(\imath)h(n-\imath ),即x(0.5)=x(-3)h(0.5-(-3)) +  x(-2)h(0.5-(-2)) + x(-1)h(0.5-(-1)) + x(0)h(0.5-(0)) + x(1)h(0.5-(1)) + x(2)h(0.5-(2)) + x(3)h(0.5-(3)) =-6.3056,即求得插值点的数值。

         根据这种思想,我们可以无限的求得每个插值点的数值。那么如何在工程也能够中使用sinc函数实现信号的插值,是我们接下来要讲述的。

2、使用matlab计算插值核

        在使用FPGA实现插值算法时,由于sinc函数的计算实现起来比较消耗硬件资源,所以一般预先计算好插值核存放在ROM或者寄存器中,直接进行调用。

        假设我们要使用前后8个点计算插值,插值倍数为10,那么使用matlab计算插值核的代码如下:

interp_mul = 10; %插值倍数为10
orig_point_num = 8;%原始点数8个

coe_group = zeros(interp_mul,orig_point_num); %定义系数组
for group = 1:1:interp_mul %计算interp_mul组系数
    for Hn = 1:1:orig_point_num %计算每组系数的orig_point_num个加权值
        if(group == 1)
            if(Hn==4)
                coe_group(group,Hn) = 1; %原始点保持数据不变[0,0,0,1,0,0,0,0]
            else
                coe_group(group,Hn) = 0; %原始点保持数据不变[0,0,0,1,0,0,0,0]
            end
        else
            coe_group(group,Hn) = sinc(4- Hn + 0.1*(group-1));%找规律映射
        end
    end
end

        运行结果保存在coe_group数组中,结果如下:

基于FPGA实现正弦插值算法_第7张图片

         上述算法计算得到的插值核为小数,而FPGA计算小数运算时,需要现将数值左移相应位数进行放大,方便进行计算,输出结果时,截取高bit即可。由于后续FPGA实现卷积和时使用18bits的插值核进行运算,因此实际工程中的matlab代码如下:

interp_mul = 10; %插值倍数为10
orig_point_num = 8;%原始点数8个

coe_group = zeros(interp_mul,orig_point_num); %定义系数组
for group = 1:1:interp_mul %计算interp_mul组系数
    for Hn = 1:1:orig_point_num %计算每组系数的orig_point_num个加权值
        if(group == 1)
            if(Hn==4)
                coe_group(group,Hn) = 2^17 -1; %原始点保持数据不变[0,0,0,1,0,0,0,0]
            else
                coe_group(group,Hn) = 0; %原始点保持数据不变[0,0,0,1,0,0,0,0]
            end
        else
            coe_group(group,Hn) = sinc(4- Hn + 0.1*(group-1)) *2^17;%找规律映射,小数放大2^17倍
        end
    end
end

结果如下:

基于FPGA实现正弦插值算法_第8张图片

 3、使用FPGA实现离散采样点的插值

         本文中仅使用一个测试程序,说明FPGA实现插值的原理,结构相对简单,架构图如下:

基于FPGA实现正弦插值算法_第9张图片

         离散采样RAM模块代码如下:

module disc_samp_gen(
    input clk,
    input disc_rd,//读待插值数据标志
    output [7:0] disc_samp  //离散采样点输出 有符号数据
    
    );
reg [1:0]addra=0;

always@(posedge clk)
begin
    if(disc_rd)
        addra <= addra + 1'b1;
end


DataSrc_ROM DataSrc_ROM (
  .clka(clk),    // input wire clka
  .addra(addra),  // input wire [1 : 0] addra
  .douta(disc_samp)  // output wire [7 : 0] douta
);
    
endmodule

         插值处理模块,主要通过乘法器实现卷积和,如下:

module sinc_process(
    input clk,
    input sinc_en,//插值使能标志
    input [7:0]disc_samp,//待插值数据,有符号数
    output disc_rd,//读取插值数据标志
    
    output sinc_valid,//插值数据有效标志
    output [7:0]sinc_data//插值后数据
    );
//插值倍数10,使用8个离散采样点进行插值处理
第0组插值核  
//localparam [17:0] group0_coe[7:0] = {18'h0,18'h0,18'h0,18'h0,
//                                     18'h1FFFF,18'h0,18'h0,18'h0};//临时粗略将18'h1FFFF视为1
第1组插值核  
//localparam [17:0] group1_coe[7:0] = {18'h3F317,18'h0115D,18'h3E57F,18'h037F5,
//                                     18'h1F79E,18'h3D238,18'h017FB,18'h3EFC2};
第2组插值核  
//localparam [17:0] group2_coe[7:0] = {18'h3E6CB,18'h02236,18'h3CAC8,18'h077BE,
//                                     18'h1DEF8,18'h3B02C,18'h02B8A,18'h3E211};
第3组插值核  
//localparam [17:0] group3_coe[7:0] = {18'h3DC5E,18'h030D5,18'h3B272,18'h0BC5B,
//                                     18'h1B77F,18'h39A94,18'h03953,18'h3D80C};
第4组插值核  
//localparam [17:0] group4_coe[7:0] = {18'h3D4F2,18'h03B9D,18'h39F21,18'h10254,
//                                     18'h1837E,18'h3914A,18'h04095,18'h3D26A};
第5组插值核  
//localparam [17:0] group5_coe[7:0] = {18'h3D170,18'h04130,18'h3935A,18'h145F3,
//                                     18'h145F3,18'h3935A,18'h04130,18'h3D170};
第6组插值核  
//localparam [17:0] group6_coe[7:0] = {18'h3D26A,18'h04095,18'h3914A,18'h1837E,
//                                     18'h10254,18'h39F21,18'h03B9D,18'h3D4F2};
第7组插值核  
//localparam [17:0] group7_coe[7:0] = {18'h3D80C,18'h03953,18'h39A94,18'h1B77F,
//                                     18'h0BC5B,18'h3B272,18'h030D5,18'h3DC5E};
第8组插值核  
//localparam [17:0] group8_coe[7:0] = {18'h3E211,18'h02B8A,18'h3B02C,18'h1DEF8,
//                                     18'h077BE,18'h3CAC8,18'h02236,18'h3E6CB};
第9组插值核  
//localparam [17:0] group9_coe[7:0] = {18'h3EFC2,18'h017FB,18'h3D238,18'h1F79E,
//                                     18'h037F5,18'h3E57F,18'h0115D,18'h3F317};

//第0组插值核  
localparam [17:0] group0_coe[7:0] = {18'h0,18'h0,18'h0,18'h1FFFF,18'h0,18'h0,18'h0,18'h0};//临时粗略将18'h1FFFF视为1
//第1组插值核  
localparam [17:0] group1_coe[7:0] = {18'h3EFC2,18'h017FB,18'h3D238,18'h1F79E,18'h037F5,18'h3E57F,18'h0115D,18'h3F317};
//第2组插值核  
localparam [17:0] group2_coe[7:0] = {18'h3E211,18'h02B8A,18'h3B02C,18'h1DEF8,18'h077BE,18'h3CAC8,18'h02236,18'h3E6CB};
//第3组插值核  
localparam [17:0] group3_coe[7:0] = {18'h3D80C,18'h03953,18'h39A94,18'h1B77F,18'h0BC5B,18'h3B272,18'h030D5,18'h3DC5E};
//第4组插值核  
localparam [17:0] group4_coe[7:0] = {18'h3D26A,18'h04095,18'h3914A,18'h1837E,18'h10254,18'h39F21,18'h03B9D,18'h3D4F2};
//第5组插值核  
localparam [17:0] group5_coe[7:0] = {18'h3D170,18'h04130,18'h3935A,18'h145F3,18'h145F3,18'h3935A,18'h04130,18'h3D170};
//第6组插值核  
localparam [17:0] group6_coe[7:0] = {18'h3D4F2,18'h03B9D,18'h39F21,18'h10254,18'h1837E,18'h3914A,18'h04095,18'h3D26A};
//第7组插值核  
localparam [17:0] group7_coe[7:0] = {18'h3DC5E,18'h030D5,18'h3B272,18'h0BC5B,18'h1B77F,18'h39A94,18'h03953,18'h3D80C};
//第8组插值核  
localparam [17:0] group8_coe[7:0] = {18'h3E6CB,18'h02236,18'h3CAC8,18'h077BE,18'h1DEF8,18'h3B02C,18'h02B8A,18'h3E211};
//第9组插值核  
localparam [17:0] group9_coe[7:0] = {18'h3F317,18'h0115D,18'h3E57F,18'h037F5,18'h1F79E,18'h3D238,18'h017FB,18'h3EFC2};


reg [17:0] sinc_coe [7:0];//对应插值点使用的插值核
reg [3:0] sinc_cnt = 0;//插值计数,0时为原始点,1~9为插值点,其余数值保留
reg [7:0] samp_data [7:0];//每次从RAM读取数据时进行锁存更新


//8个乘法结果
reg [25:0] mult_data[7:0];

assign disc_rd = (sinc_cnt == 4'd8) ? 1'b1:1'b0; //插值第8个点时,读取新的数据

//插值倍数10,插值点计数
always@(posedge clk)
begin
    if(sinc_en == 1'b1) begin
        if(sinc_cnt == 4'd9) 
            sinc_cnt <= 4'd0;
        else
            sinc_cnt <= sinc_cnt + 1;
    end
    else
        sinc_cnt <= 4'd0;
end
//原始点锁存
always@(posedge clk)
begin
    if(sinc_en == 1'b1 && sinc_cnt == 4'd0) begin //插值使能
        samp_data[0] <= disc_samp;//新输入的点
        samp_data[1] <= samp_data[0];
        samp_data[2] <= samp_data[1];
        samp_data[3] <= samp_data[2];
        samp_data[4] <= samp_data[3];
        samp_data[5] <= samp_data[4];
        samp_data[6] <= samp_data[5];
        samp_data[7] <= samp_data[6];
    end
end

//插值核系数选择
always@(posedge clk)
begin
    case(sinc_cnt)
        4'd0:sinc_coe <= group0_coe;//原始点系数
        4'd1:sinc_coe <= group1_coe;//第1个插值点系数
        4'd2:sinc_coe <= group2_coe;//第2个插值点系数
        4'd3:sinc_coe <= group3_coe;//第3个插值点系数
        4'd4:sinc_coe <= group4_coe;//第4个插值点系数
        4'd5:sinc_coe <= group5_coe;//第5个插值点系数
        4'd6:sinc_coe <= group6_coe;//第6个插值点系数
        4'd7:sinc_coe <= group7_coe;//第7个插值点系数
        4'd8:sinc_coe <= group8_coe;//第8个插值点系数
        4'd9:sinc_coe <= group9_coe;//第9个插值点系数
        default:;
    endcase
end


//乘法器0
mult_gen mult_gen_0 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[0]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[0]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[0])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器1
mult_gen mult_gen_1 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[1]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[1]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[1])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器2
mult_gen mult_gen_2 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[2]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[2]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[2])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器3
mult_gen mult_gen_3 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[3]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[3]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[3])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器4
mult_gen mult_gen_4 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[4]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[4]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[4])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器5
mult_gen mult_gen_5 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[5]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[5]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[5])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器6
mult_gen mult_gen_6 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[6]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[6]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[6])      // output wire [25 : 0] P
);

//乘法器7
mult_gen mult_gen_7 (
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .A(samp_data[7]),      // input wire [7 : 0] A
  .B(sinc_coe[7]),      // input wire [17 : 0] B
  .P(mult_data[7])      // output wire [25 : 0] P
);


//使用加法器实现有符号数相加

//二点相加
wire [25:0] add2_0;
wire [25:0] add2_1;
wire [25:0] add2_2;
wire [25:0] add2_3;
adder2 adder2_inst0 (
  .A(mult_data[0]),      // input wire [25 : 0] A
  .B(mult_data[1]),      // input wire [25 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add2_0)      // output wire [26 : 0] S
);

adder2 adder2_inst1 (
  .A(mult_data[2]),      // input wire [25 : 0] A
  .B(mult_data[3]),      // input wire [25 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add2_1)      // output wire [26 : 0] S
);

adder2 adder2_inst2 (
  .A(mult_data[4]),      // input wire [25 : 0] A
  .B(mult_data[5]),      // input wire [25 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add2_2)      // output wire [26 : 0] S
);

adder2 adder2_inst3 (
  .A(mult_data[5]),      // input wire [25 : 0] A
  .B(mult_data[6]),      // input wire [25 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add2_3)      // output wire [26 : 0] S
);

//四点相加
reg [25:0] add4_0;
reg [25:0] add4_1;
adder4 adder4_inst0 (
  .A(add2_0),      // input wire [26 : 0] A
  .B(add2_1),      // input wire [26 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add4_0)      // output wire [27 : 0] S
);

adder4 adder4_inst1 (
  .A(add2_2),      // input wire [26 : 0] A
  .B(add2_3),      // input wire [26 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add4_1)      // output wire [27 : 0] S
);

//八点相加
wire [25:0] add8;
adder8 adder8 (
  .A(add4_0),      // input wire [26 : 0] A
  .B(add4_1),      // input wire [26 : 0] B
  .CLK(clk),  // input wire CLK
  .S(add8)      // output wire [27 : 0] S
);


assign sinc_valid = 1'b1;
assign sinc_data = add8[25:18];
endmodule

        编写testbench,对插值模块进行仿真验证,testbench代码如下:

module testbench(

    );
reg clk = 0; //100M时钟

always 
begin
    # 5
    clk <= ~clk;
end

wire disc_rd;//采样点有效标志
wire [7:0] disc_samp;  //离散采样点输出
disc_samp_gen disc_samp_gen(
    .clk(clk),
    .disc_rd(disc_rd),//采样点有效标志
    .disc_samp(disc_samp)//离散采样点输出
    );
    
sinc_process sinc_process(
    .clk(clk),
    
    .sinc_en(1'b1),
    
    .disc_rd(disc_rd),//采样点有效标志
    .disc_samp(disc_samp),//离散采样点输出
    
    .sinc_valid(),//插值数据有效标志
    .sinc_data()//插值后数据
    );
    
    
endmodule

仿真验证结果如下:

基于FPGA实现正弦插值算法_第10张图片

         可以看到,图中黄色部分为原始采样点的直线连接波形,紫色部分为正弦插值后的波形。正弦插值仿真成功。

vivado工程以及学习sinc插值的过程文件(主要是为了存档,方便后续自己使用):https://download.csdn.net/download/yindq1220/87557975?spm=1001.2014.3001.5501

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