多源点最短路径：弗洛伊德算法与动态规划

        在数据结构的学习中，关于图的算法有诸如迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford算法等，然而之前只是为了应付考试或者简单学习算法流程，所以总是学一遍，忘一遍，不深刻理解它是怎么来的，就总也记不住，反正我是这样。所以，今天重新学习了一下多源点最短路径算法：弗洛伊德算法，并从动态规划的角度重新理解它。

        简单回顾一下动态规划思想，动态规划常用于子问题重叠的情况，当不同的子问题有公共的子子问题时（子问题的求解递归进行），无脑递归它会反复求解那些重复的子问题，造成计算资源的浪费。而动态规划就是将子子问题只求解一次，从而无需重复计算。它的一个最基本特征是该问题会用到子问题的最优解，子问题的又会用到子子问题的最优解。

        看一个简单的例子：先描述一下我们要解决的问题，求出该图中所有节点之间的最短距离。当然我们的目的是寻找让计算机解决这个问题的通用的办法，我们用眼睛看当然很容易，但当图规模特别大时，就得靠计算机了。

为了便于表示，我们可以用二维矩阵来表示各个节点之间的距离。

这是初始情况，在不经过任何节点的情况下，各个节点之间的距离。之后所有的操作都在这个矩阵上进行。

        再来说说如何用动态规划来解决这个问题：假如要求两节点Vi和Vj之间的最短距离，假设还有k个其它节点。这个问题的子问题是：除去第k个节点，i和j之间经过k和不经过k两个子问题。此时假设已求得包含了前k-1个中间节点的最短路径。经过k的最短距离就是Dik+Dkj;不经过k的最短距离就是Dij，这里的D都是在利用了k-1个中间节点后的求得的最短距离。所以只要在这两个子问题中挑出最小值即可。这时子子问题产生了，利用k-1个中间节点的i和j之间，i和k之间，k和j之间的距离怎么求呢。这时就可以推给图包含前k-2个中间节点的最短距离，有点像数列中的递推公式。这时问题的最优解就利用了子问题的最优解，这便是动态规划问题都要满足的最优子结构。

如下便是多源点最短路径的递推式：

我们的思路是自顶向下递推，而我们求解问题的思路便是自底向上求解，因为自底向上的话我们可以将子问题的最优解记录下来，求解上层问题的时候直接查就行了。

再回到开始的实例，我们以节点1，2，3的顺序开始包含：

初始包含0个节点：

包含节点1：

这里举个例子3到2的距离是如何从无穷大更新到7的：此时k=1，也就是在包含k-1=0个节点的基础上（初始矩阵）计算，

d(3,2)=无穷大；d(3,1)+d(1,2)=3+4=7;选择较小的7更新矩阵。（注意这里的3+4不是从图上看的，而是在C0那个矩阵里找的，因为计算机可不会看图，而且矩阵的9个值都要挨个算一遍，只不过有的不需要更新）。

然后包含节点2：

这里看一下1到3的最短距离是怎么更新到6的：此时k=2，也就是在包含k-1=1个节点的基础（即矩阵C1）上计算，d(1,3)=11;d(1,2)+d(2,3)=4+2=6;选择更小的6更新矩阵。同样这里的值都是从C1矩阵中找的，这里C1就是C2的子问题。求解C2利用的子问题的最优解。

然后包含节点3：

此时这个矩阵中便包含了任意节点之间的最短距离，在问题规模特别大时，计算机可以利用这个方法很快求得全局的最优解。这便是多源点最短路径的佛洛依德算法，下面给出该算法的伪代码。

C={dij}        // 初始化矩阵

for k = 1 to n

        for i = 1 to n

                for j = 1 to n

                        dij = min(dij, dik + dkj)

return C

该算法的时间复杂度是O(n^3)，该算法不仅代码简洁，而且是一个很巧妙很棒的算法，可以帮助我们快速算得图上任意两个节点的最短距离，在通信路由领域用途广泛。

2020-11-10 15:31 上传