[离散数学]命题逻辑P_6:命题等价公式及应用

[离散数学]命题逻辑P_6:命题等价公式及应用

  • 前言
  • 1. 基本等价关系
    • 定理
  • 2. 判断公式类型
    • 例1:证明公式类型
    • 例2:证明复杂公式间的等价关系
  • 3. 开关电路化简
  • 4. 逻辑电路化简
  • 5. 智力游戏
  • 总结


前言

第六讲:命题公式等价公式及应用

数理逻辑,就是用数学的方法研究逻辑推理的规律。

命题公式( p r o p o s i t i o n a l f o r m u l a propositional formula propositionalformula)亦称合式公式,是数理逻辑术语,它是按照一定规律形成的符号序列,在命题演算中,公式通常用归纳定义给出。

根据两个公式等价的定义或判定定理,可以利用真值表来证明任意两个公式之间的等价关系,由此得到一组基本等价公式。

本文命题等价公式及应用是命题逻辑的第六部分。


1. 基本等价关系

定理

G , H , S G,H,S G,H,S为任意的命题公式。

  1. 幂等律
    E 1 : G ∨ G = G E_1:G\lor G=G E1:GG=G
    E 2 : G ∧ G = G E_2:G\land G=G E2:GG=G.

同真 - 析取或合取 - 为真
同假 - 析取或合取 - 为假

  1. 交换律
    E 3 : G ∨ H = H ∨ G E_3:G\lor H=H \lor G E3:GH=HG
    E 4 : G ∧ H = H ∧ G E_4:G\land H=H \land G E4:GH=HG.

析取或合取的对称性

  1. 结合律
    E 5 : G ∨ ( H ∨ S ) = ( G ∨ H ) ∨ S E_5:G\lor (H \lor S)=(G \lor H) \lor S E5:G(HS)=(GH)S
    E 6 : G ∧ ( H ∧ S ) = ( G ∧ H ) ∨ S E_6:G\land (H \land S)=(G \land H) \lor S E6:G(HS)=(GH)S.

三个公式析取或合取,先算前两个和先算后两个等价。

  1. 同一律
    E 7 : G ∨ 0 = G E_7:G\lor 0=G E7:G0=G
    E 8 : G ∧ 1 = G E_8:G\land 1=G E8:G1=G.

1析取0为1;0析取0为0
1合取1为1;0合取0为0

此处运算律与集合相似,可以通过对比的方式进行记忆。
析取对应集合的并运算合取对应集合的交运算
0对应空集1对应全集

  1. 零律
    E 9 : G ∨ 1 = 1 E_9:G\lor 1=1 E9:G1=1
    E 10 : G ∧ 0 = 0 E_{10}:G\land 0=0 E10:G0=0.

析取有一个为1,则为1
合取有一个为0,则为0

  1. 分配律
    E 11 : G ∨ ( H ∧ S ) = ( G ∨ H ) ∧ ( G ∨ S ) E_{11}:G\lor (H \land S)=(G \lor H)\land (G\lor S) E11:G(HS)=(GH)(GS)
    E 12 : G ∧ ( H ∨ S ) = ( G ∧ H ) ∨ ( G ∧ S ) E_{12}:G\land (H \lor S)=(G \land H)\lor (G\land S) E12:G(HS)=(GH)(GS).

  2. 吸收律
    E 13 : G ∨ ( G ∧ H ) = G E_{13}:G\lor (G \land H)=G E13:G(GH)=G
    E 14 : G ∧ ( G ∨ H ) = G E_{14}:G\land (G \lor H)=G E14:G(GH)=G.

外层析取,内层合取;
外层合取,内层析取。
H H H就被吸收掉了,用于化简公式,可用于证明中。

  1. 矛盾律
    E 15 : ¬ G ∧ G = 0 E_{15}:\lnot G\land G = 0 E15:¬GG=0.
  2. 排中律
    E 16 : ¬ G ∨ G = 1 E_{16}:\lnot G\lor G = 1 E16:¬GG=1.
  3. 双重否定律
    E 17 : ¬ ( ¬ G ) = G E_{17}:\lnot (\lnot G) = G E17:¬(¬G)=G.
  4. 德摩根律
    E 18 : ¬ ( G ∨ H ) = ¬ G ∧ ¬ H E_{18}:\lnot (G \lor H) = \lnot G \land \lnot H E18:¬(GH)=¬G¬H;
    E 19 : ¬ ( G ∧ H ) = ¬ G ∨ ¬ H E_{19}:\lnot (G \land H) = \lnot G \lor \lnot H E19:¬(GH)=¬G¬H.

析取的否定=否定的合取;
合取的否定=否定的析取。
主要用于公式的变形

  1. 蕴涵式
    E 20 : G → H ) = ¬ G ∨ H E_{20}:G \rightarrow H) = \lnot G \lor H E20:GH)=¬GH.

蕴涵联结词转化为否定联结词析取联结词
常用,用于消除或添加蕴涵联结词。

  1. 假言易位
    E 21 : G → H = ¬ H → ¬ G E_{21}:G \rightarrow H = \lnot H \rightarrow \lnot G E21:GH=¬H¬G.

如果 G G G H H H,等价于如果 ¬ H \lnot H ¬H ¬ G \lnot G ¬G
即逆否命题,原命题为真,则逆否命题为真;原命题为假,则逆否命题为假。

  1. 等价式
    E 22 : G ↔ H = ( G → H ) ∧ ( H → G ) = ( ¬ G ∨ H ) ∧ ( ¬ H ∨ G ) E_{22}:G \leftrightarrow H = (G \rightarrow H) \land (H \rightarrow G) = (\lnot G \lor H) \land (\lnot H \lor G) E22:GH=(GH)(HG)=(¬GH)(¬HG).

等价联结词 - 转化为蕴涵联结词 - 转化为否定联结词析取联结词
可用于消去或添加等价联结词。

  1. 等价否定等式
    E 23 : G ↔ H = ¬ G ↔ ¬ H E_{23}:G \leftrightarrow H = \lnot G \leftrightarrow \lnot H E23:GH=¬G¬H.

G G G等价 H H H ¬ G \lnot G ¬G也等价 ¬ H \lnot H ¬H

  1. 归谬论
    E 24 : ( G → H ) ∧ ( G → ¬ H ) = ¬ G E_{24}:(G \rightarrow H) \land (G \rightarrow \lnot H) = \lnot G E24:(GH)(G¬H)=¬G.

即反证法,假设结论不成立,找出矛盾,说明假设不正确,证明原结论成立。
如果 G G G,则 H H H,且如果 G G G,则 ¬ H \lnot H ¬H,存在矛盾 - 说明 G G G不成立,即 ¬ G \lnot G ¬G


2. 判断公式类型

例1:证明公式类型

利用命题公式的基本等价关系,证明 ( P → Q ) ∧ P → Q (P→Q)\land P→Q (PQ)PQ是重言式。

证明

通常第一步 - 通过蕴含式消去蕴涵联结词 - 蕴涵联结词不方便进行变换和化简。

             ( P → Q ) ∧ P → Q \left( P\rightarrow Q \right) \land P\rightarrow Q (PQ)PQ
= ( ¬ P ∨ Q ) ∧ P → Q = ¬ ( ( ¬ P ∨ Q ) ∧ P ) ∨ Q =(\lnot P \lor Q) \land P \rightarrow Q = \lnot (( \lnot P \lor Q) \land P) \lor Q =(¬PQ)PQ=¬((¬PQ)P)Q     (蕴含式)

消去第二个蕴涵联结词时,【 ( ¬ P ∨ Q ) ∧ P (\lnot P \lor Q) \land P (¬PQ)P】整体为蕴涵的前件,对整体取否定。
公式【 ¬ ( ( ¬ P ∨ Q ) ∧ P ) \lnot((\lnot P \lor Q) \land P) ¬((¬PQ)P)】结构为合取后取否定,符合德摩根律
公式【 ¬ ( ¬ P ∨ Q ) \lnot (\lnot P \lor Q) ¬(¬PQ)】结构为合取后取否定,符合德摩根律

= ( ¬ ( ¬ P ∨ Q ) ∨ ¬ P ) ∨ Q = ( ( P ∧ ¬ Q ) ∨ ¬ P ) ∨ Q =(\lnot (\lnot P \lor Q) \lor \lnot P) \lor Q = ((P \land \lnot Q) \lor \lnot P)\lor Q =(¬(¬PQ)¬P)Q=((P¬Q)¬P)Q    (德摩根律)

公式【 ( P ∧ ¬ Q ) ∨ ¬ P (P \land \lnot Q) \lor \lnot P (P¬Q)¬P】,内层为合取,外层为析取,符合分配律,将其展开。

= ( ( P ∨ ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ P ) ) ∨ Q =((P \lor \lnot P) \land (\lnot Q \lor \lnot P)) \lor Q =((P¬P)(¬Q¬P))Q    (分配律)

公式【 P ∨ ¬ P P \lor \lnot P P¬P】符合排中律,结果为1。

= ( 1 ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ P ) ) ∨ Q =(1 \land (\lnot Q \lor \lnot P)) \lor Q =(1(¬Q¬P))Q    (排中律)

公式【 1 ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ P ) 1 \land (\lnot Q \lor \lnot P) 1(¬Q¬P)】符合同一律

= ( ¬ Q ∨ ¬ P ) ∨ Q =(\lnot Q \lor \lnot P) \lor Q =(¬Q¬P)Q    (同一律)

公式【 ( ¬ Q ∨ ¬ P ) ∨ Q (\lnot Q \lor \lnot P) \lor Q (¬Q¬P)Q】中三个部分间都是析取,可使用结合律交换律

= ( ¬ Q ∨ Q ) ∨ ¬ P =(\lnot Q \lor Q)\lor \lnot P =(¬QQ)¬P    (结合律,交换律)

公式【 ¬ Q ∨ Q \lnot Q \lor Q ¬QQ】符合排中律,结果为1。

= 1 ∨ ¬ P =1\lor \lnot P =1¬P    (排中律)

根据零律,1析取任何一个值都为1

= 1 = 1 =1    (零律)

此类问题主要是变形和化简的过程,先对蕴涵等价联结词进行消去,然后运用德摩根律、分配律、结合律、交换律等,将相同的命题变元放在一起进行化简,直到可以确定公式的类型为止。

例2:证明复杂公式间的等价关系

利用命题公式的基本等价关系,证明 P → ( Q → R ) = ( P ∧ Q ) → R P→(Q→R)=(P\land Q)→R P(QR)=(PQ)R

证明
             P → ( Q → R ) P→(Q→R) P(QR)
= ¬ P ∨ ( Q → R ) =\lnot P \lor (Q\rightarrow R) =¬P(QR)     (蕴含式)
= ¬ P ∨ ( ¬ Q ∨ R ) =\lnot P \lor (\lnot Q\lor R) =¬P(¬QR)    (蕴含式)
= ( ¬ P ∨ ¬ Q ) ∨ R =(\lnot P \lor \lnot Q) \lor R =(¬P¬Q)R    (结合律)
= ¬ ( P ∧ Q ) ∨ R =\lnot ( P \land Q) \lor R =¬(PQ)R       (德摩根律)
= ( P ∧ Q ) → R =( P \land Q) \rightarrow R =(PQ)R        (蕴含式)


3. 开关电路化简

利用命题公式的基本等价关系,化简如下图所示开关电路。
[离散数学]命题逻辑P_6:命题等价公式及应用_第1张图片

( ( P ∧ Q ∧ R ) ∨ ( P ∧ Q ∧ S ) ) ∧ ( ( P ∧ R ) ∨ ( P ∧ S ) ) ((P\land Q \land R)\lor (P\land Q \land S)) \land ((P\land R) \lor (P \land S)) ((PQR)(PQS))((PR)(PS))
= ( P ∧ Q ∧ ( R ∨ S ) ) ∧ ( P ∧ ( R ∨ S ) ) =(P\land Q \land (R\lor S)) \land (P \land (R \lor S)) =(PQ(RS))(P(RS))
= P ∧ Q ∧ ( R ∨ S ) ∧ P ∧ ( R ∨ S ) =P\land Q \land (R\lor S) \land P \land (R \lor S) =PQ(RS)P(RS)
= P ∧ Q ∧ ( R ∨ S ) =P\land Q \land (R\lor S) =PQ(RS)

化简后的电路图:
[离散数学]命题逻辑P_6:命题等价公式及应用_第2张图片

化简后开关电路功能与原开关电路功能完全一致。


4. 逻辑电路化简

利用命题公式的基本等价关系,化简如下左图所示逻辑电路。

[离散数学]命题逻辑P_6:命题等价公式及应用_第3张图片

逻辑电路中的与门对应逻辑运算符的合取或门对应析取


( ( P ∧ Q ∧ R ) ∨ ( P ∨ Q ∨ S ) ) ∧ ( P ∧ S ∧ T ) ((P\land Q \land R)\lor (P\lor Q \lor S)) \land (P\land S\land T) ((PQR)(PQS))(PST)

吸收率 - ( P ∧ Q ∧ R ) ∨ P (P\land Q \land R)\lor P (PQR)P = P P P

= ( P ∨ Q ∨ S ) ∧ ( P ∧ S ∧ T ) =(P\lor Q \lor S)\land (P\land S\land T) =(PQS)(PST)

吸收率 - ( P ∨ Q ∨ S ) ∧ P (P\lor Q \lor S)\land P (PQS)P = P P P

= P ∧ S ∧ T =P\land S\land T =PST


5. 智力游戏

侦探调查了罪案的四位证人。从证人的话侦探得出的结论是:如果男管家说的是真话,那么厨师说的也是真话;厨师和园丁说的不可能都是真话;园丁和杂役不可能都在说谎;如果杂役说真话,那么厨师在说谎。侦探能判定这四位证人分别是在说谎还是在说真话吗?解释你的推理。


令命题 P P P:男管家说的是真话; Q Q Q:厨师说的是真话; R R R:园丁说的是真话; S S S:杂役说的是真话。

则将上述已知条件符号化并列出真值表,选取真值结果为真的行如下表:

P P P     Q Q Q     R R R     S S S P → Q P \rightarrow Q% PQ ¬ ( Q ∧ R ) \lnot(Q \land R) ¬(QR) ¬ ( ¬ R ∧ ¬ S ) \lnot(\lnot R \land \lnot S) ¬(¬R¬S) S → ¬ Q S \rightarrow \lnot Q S¬Q
0 0 0     0 0 0     0 0 0     1 1 1 1 1 1 1
0 0 0     0 0 0     1 1 1     0 0 0 1 1 1 1
0 0 0     0 0 0     1 1 1     1 1 1 1 1 1 1

可见,我们能确定 P , Q P,Q P,Q必然为假,但无法确定 R R R S S S的值,因而侦探只能判定男管家和厨师在说谎,但无法判定园丁与杂役谁在说真话。


总结

本文介绍了命题逻辑中的命题等价公式及应用部分,对命题逻辑有深入的了解。

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