[离散数学]命题逻辑P_6：命题等价公式及应用

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前言

第六讲：命题公式等价公式及应用

数理逻辑，就是用数学的方法研究逻辑推理的规律。

命题公式($propositionalformula$)亦称合式公式，是数理逻辑术语，它是按照一定规律形成的符号序列，在命题演算中，公式通常用归纳定义给出。

根据两个公式等价的定义或判定定理，可以利用真值表来证明任意两个公式之间的等价关系，由此得到一组基本等价公式。

本文命题等价公式及应用是命题逻辑的第六部分。

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1. 基本等价关系

定理

设$G,H,S$为任意的命题公式。

1. 幂等律
   $E_1:G\vee G=G$；
   $E_2:G\wedge G=G$.

同真 - 析取或合取 - 为真
同假 - 析取或合取 - 为假

2. 交换律
   $E_3:G\vee H=H\vee G$；
   $E_4:G\wedge H=H\wedge G$.

析取或合取的对称性

3. 结合律
   $E_5:G\vee (H\vee S)=(G\vee H)\vee S$；
   $E_6:G\wedge (H\wedge S)=(G\wedge H)\vee S$.

三个公式析取或合取，先算前两个和先算后两个等价。

4. 同一律
   $E_7:G\vee 0=G$；
   $E_8:G\wedge 1=G$.

1析取0为1；0析取0为0
1合取1为1；0合取0为0

此处运算律与集合相似，可以通过对比的方式进行记忆。
析取对应集合的并运算，合取对应集合的交运算。
0对应空集；1对应全集。

5. 零律
   $E_9:G\vee 1=1$；
   $E_{10}:G\wedge 0=0$.

析取有一个为1，则为1
合取有一个为0，则为0

6. 分配律
   $E_{11}:G\vee (H\wedge S)=(G\vee H)\wedge (G\vee S)$；
   $E_{12}:G\wedge (H\vee S)=(G\wedge H)\vee (G\wedge S)$.

7. 吸收律
   $E_{13}:G\vee (G\wedge H)=G$；
   $E_{14}:G\wedge (G\vee H)=G$.

外层析取，内层合取；
外层合取，内层析取。
$H$就被吸收掉了，用于化简公式，可用于证明中。

8. 矛盾律
   $E_{15}:\neg G\wedge G=0$.
9. 排中律
   $E_{16}:\neg G\vee G=1$.
10. 双重否定律
    $E_{17}:\neg (\neg G)=G$.
11. 德摩根律
    $E_{18}:\neg (G\vee H)=\neg G\wedge \neg H$;
    $E_{19}:\neg (G\wedge H)=\neg G\vee \neg H$.

析取的否定=否定的合取；
合取的否定=否定的析取。
主要用于公式的变形

12. 蕴涵式
    $E_{20}:G\to H)=\neg G\vee H$.

将蕴涵联结词转化为否定联结词和析取联结词
常用，用于消除或添加蕴涵联结词。

13. 假言易位
    $E_{21}:G\to H=\neg H\to \neg G$.

如果$G$则$H$，等价于如果$\neg H$则$\neg G$。
即逆否命题，原命题为真，则逆否命题为真；原命题为假，则逆否命题为假。

14. 等价式
    $E_{22}:G\leftrightarrow H=(G\to H)\wedge (H\to G)=(\neg G\vee H)\wedge (\neg H\vee G)$.

等价联结词 - 转化为蕴涵联结词 - 转化为否定联结词和析取联结词。
可用于消去或添加等价联结词。

15. 等价否定等式
    $E_{23}:G\leftrightarrow H=\neg G\leftrightarrow \neg H$.

$G$等价$H$，$\neg G$也等价$\neg H$

16. 归谬论
    $E_{24}:(G\to H)\wedge (G\to \neg H)=\neg G$.

即反证法，假设结论不成立，找出矛盾，说明假设不正确，证明原结论成立。
如果$G$，则$H$，且如果$G$，则$\neg H$，存在矛盾 - 说明$G$不成立，即$\neg G$。

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2. 判断公式类型

例1：证明公式类型

利用命题公式的基本等价关系，证明$(P\to Q)\wedge P\to Q$是重言式。

证明

通常第一步 - 通过蕴含式消去蕴涵联结词 - 蕴涵联结词不方便进行变换和化简。

            $\left(P\to Q\right)\wedge P\to Q$
$=(\neg P\vee Q)\wedge P\to Q=\neg ((\neg P\vee Q)\wedge P)\vee Q$     （蕴含式）

消去第二个蕴涵联结词时，【$(\neg P\vee Q)\wedge P$】整体为蕴涵的前件，对整体取否定。
公式【$\neg ((\neg P\vee Q)\wedge P)$】结构为合取后取否定，符合德摩根律。
公式【$\neg (\neg P\vee Q)$】结构为合取后取否定，符合德摩根律。

$=(\neg (\neg P\vee Q)\vee \neg P)\vee Q=((P\wedge \neg Q)\vee \neg P)\vee Q$    （德摩根律）

公式【$(P\wedge \neg Q)\vee \neg P$】，内层为合取，外层为析取，符合分配律，将其展开。

$=((P\vee \neg P)\wedge (\neg Q\vee \neg P))\vee Q$    （分配律）

公式【$P\vee \neg P$】符合排中律，结果为1。

$=(1\wedge (\neg Q\vee \neg P))\vee Q$    （排中律）

公式【$1\wedge (\neg Q\vee \neg P)$】符合同一律。

$=(\neg Q\vee \neg P)\vee Q$    （同一律）

公式【$(\neg Q\vee \neg P)\vee Q$】中三个部分间都是析取，可使用结合律和交换律。

$=(\neg Q\vee Q)\vee \neg P$    （结合律，交换律）

公式【$\neg Q\vee Q$】符合排中律，结果为1。

$=1\vee \neg P$    （排中律）

根据零律，1析取任何一个值都为1

$=1$    （零律）

此类问题主要是变形和化简的过程，先对蕴涵或等价联结词进行消去，然后运用德摩根律、分配律、结合律、交换律等，将相同的命题变元放在一起进行化简，直到可以确定公式的类型为止。

例2：证明复杂公式间的等价关系

利用命题公式的基本等价关系，证明$P\to (Q\to R)=(P\wedge Q)\to R$。

证明
            $P\to (Q\to R)$
$=\neg P\vee (Q\to R)$     （蕴含式）
$=\neg P\vee (\neg Q\vee R)$    （蕴含式）
$=(\neg P\vee \neg Q)\vee R$    （结合律）
$=\neg (P\wedge Q)\vee R$       （德摩根律）
$=(P\wedge Q)\to R$        （蕴含式）

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3. 开关电路化简

利用命题公式的基本等价关系，化简如下图所示开关电路。

解
$((P\wedge Q\wedge R)\vee (P\wedge Q\wedge S))\wedge ((P\wedge R)\vee (P\wedge S))$
$=(P\wedge Q\wedge (R\vee S))\wedge (P\wedge (R\vee S))$
$=P\wedge Q\wedge (R\vee S)\wedge P\wedge (R\vee S)$
$=P\wedge Q\wedge (R\vee S)$

化简后的电路图：

化简后开关电路功能与原开关电路功能完全一致。

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4. 逻辑电路化简

利用命题公式的基本等价关系，化简如下左图所示逻辑电路。

逻辑电路中的与门对应逻辑运算符的合取，或门对应析取。

解
$((P\wedge Q\wedge R)\vee (P\vee Q\vee S))\wedge (P\wedge S\wedge T)$

吸收率 - $(P\wedge Q\wedge R)\vee P$ = $P$

$=(P\vee Q\vee S)\wedge (P\wedge S\wedge T)$

吸收率 - $(P\vee Q\vee S)\wedge P$ = $P$

$=P\wedge S\wedge T$

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5. 智力游戏

侦探调查了罪案的四位证人。从证人的话侦探得出的结论是：如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话；厨师和园丁说的不可能都是真话;园丁和杂役不可能都在说谎；如果杂役说真话，那么厨师在说谎。侦探能判定这四位证人分别是在说谎还是在说真话吗？解释你的推理。

解
令命题 $P$：男管家说的是真话；$Q$：厨师说的是真话；$R$：园丁说的是真话；$S$：杂役说的是真话。

则将上述已知条件符号化并列出真值表，选取真值结果为真的行如下表：

$P$    $Q$    $R$    $S$	$P\to Q$	$\neg (Q\wedge R)$	$\neg (\neg R\wedge \neg S)$	$S\to \neg Q$
$0$    $0$    $0$    $1$	1	1	1	1
$0$    $0$    $1$    $0$	1	1	1	1
$0$    $0$    $1$    $1$	1	1	1	1

可见，我们能确定$P,Q$必然为假，但无法确定$R$和$S$的值，因而侦探只能判定男管家和厨师在说谎，但无法判定园丁与杂役谁在说真话。

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总结

本文介绍了命题逻辑中的命题等价公式及应用部分，对命题逻辑有深入的了解。