高中奥数 2021-12-25

2021-12-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题4）

设是锐角内部一点,使,且,求的的值.

分析与解

如图,以为原点建立复平面,设,,

图1

$\begin{aligned} \overrightarrow {DB}&=\dfrac{\left|BD\right|}{\left|DA\right|}\cdot \overrightarrow {DA}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta+90^{\circ}\right)}\\ &=\dfrac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}\cdot \left(1-z_{D}\right)\cdot \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\\ &=\overrightarrow{CB} \cdot \left(1-z_{D}\right)\cdot \mathrm{i}\\ &=z_{B}\left(1-z_{D}\right)\cdot \mathrm{i}. \end{aligned}$

而,所以,,从而

$\dfrac{\left|AB\right|\cdot\left|CD\right|}{\left|AC\right|\cdot\left|BD\right|}=\dfrac{\left|z_{B}-1\right|\left|\dfrac{z_{B}\mathrm{i}-z_{B}}{z_{B}\mathrm{i}-1}\right|}{\left|z_{B}-\dfrac{z_{B}\mathrm{i}-z_{B}}{z_{B}\mathrm{i}-1}\right|}=\dfrac{\left|z_{B}\right|\cdot\left|z_{B}-1\right|\cdot\left|\mathrm{i}-1\right|}{\left|z_{B}\right|\cdot\left|z_{B}-1\right|}=\sqrt{2}.$

注

这题可用纯几何方法做,但需要构造一个适当的角(类似于旋转,并且此题可推广为:设是内一点,使得 , ,,则.

2021-12-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题5）

设是锐角三角形内一点,、、分别交边、、于点、、,已知.求证:是的重心.

证明

本题的结论对为一般三角形都成立.

设为复平面上的原点,并直接用表示点对应的复数,则存在正实数、、,使得,且.

由于为与的交点,可解得.

同样地,,.

利用可知,于是

化简得

这时,若,则.因此,这要求在的外接圆上,与在内矛盾,所以,进而,得

即为的重心,证毕.

2021-12-25-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题6）

给定一个凸六边形,其任意两条对边具有如下性质:它们的中点之间的距离等于它们的长度和的倍.证明:该六边形的所有内角相等(一个凸六边形有3组对边:和,和,和).

证明

引理:中,为中点.则,等号当且仅当为正三角形时取到.

引理的证明:设为平面上一点,使得与在的同侧,而为正三角形.则由于,故在的外接圆的内部(包括边界).而的外接圆落在以为圆心为半径的圆内所以引理获证.

设为给定的凸六边形,记.并设、分别为和的中点.则

$\begin{aligned} &\overrightarrow {MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {d},\\ &\overrightarrow {MN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {a}-\overrightarrow {f}-\overrightarrow {e}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {d}. \end{aligned}$

于是

由条件,我们有

记,,,由(1)与(2)可得

同理可知

注意到

$\begin{aligned} (3)\Leftrightarrow\left|\overrightarrow {y}\right|^{2}-2\overrightarrow {y}\cdot\overrightarrow {z}+\left|\overrightarrow {z}\right|^{2}\geqslant 3\left|\overrightarrow {x}\right|^{2};\\ (4)\Leftrightarrow\left|\overrightarrow {z}\right|^{2}-2\overrightarrow {z}\cdot\overrightarrow {x}+\left|\overrightarrow {x}\right|^{2}\geqslant 3\left|\overrightarrow {y}\right|^{2};\\ (5)\Leftrightarrow\left|\overrightarrow {x}\right|^{2}-2\overrightarrow {x}\cdot\overrightarrow {y}+\left|\overrightarrow {y}\right|^{2}\geqslant 3\left|\overrightarrow {z}\right|^{2}. \end{aligned}$

上述3式相加,得

$-\left|\overrightarrow {x}\right|^{2}-\left|\overrightarrow {y}\right|^{2}-\left|\overrightarrow {z}\right|^{2}--2\overrightarrow {y}\cdot\overrightarrow {z}-2\overrightarrow {z}\cdot\overrightarrow {x}2\overrightarrow {x}\cdot\overrightarrow {y}\geqslant 0.$

即.因此,并且上述所有不等式全部取等号.于是

$\begin{aligned} &\overrightarrow {x}+\overrightarrow {y}+\overrightarrow {z}=0,\\ &\left|\overrightarrow {y}-\overrightarrow {z}\right|= \sqrt{3}\left|\overrightarrow {x}\right|,\overrightarrow {a}//\overrightarrow {d}//\overrightarrow {x},\\ &\left|\overrightarrow {z}-\overrightarrow {x}\right|= \sqrt{3}\left|\overrightarrow {y}\right|,\overrightarrow {c}//\overrightarrow {f}//\overrightarrow {y},\\ &\left|\overrightarrow {x}-\overrightarrow {y}\right|= \sqrt{3}\left|\overrightarrow {z}\right|,\overrightarrow {e}//\overrightarrow {b}//\overrightarrow {z}. \end{aligned}$

现在设中,,,,并不妨设,为中点,则.利用引理可知,为正三角形.于是,

证毕.

2021-12-25-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题7）

设内接于单位圆,、、对应的复数分别为、、,而为外接圆上任一点,对应复数为,证明:关于的西摩松线的方程为此处,,.

证明

首先,经过、的直线方程为

我们只需证明在这直线上的垂足满足题设之方程,由于题设方程是对称的,同理可证另外两个垂足亦在其上.

化简,得,当时,两边除以并转化,于是.

由例1知,过且与之垂直的直线方程是

或

注意(2)式也包括的情形,此式与联立,解出

$\begin{aligned} \begin{aligned} t z-s_{3} \bar{z} &=\frac{1}{2}\left(t^{2}+t t_{2}+t t_{3}-t_{2} t_{3}\right)-\frac{1}{2 t}\left(t t_{1} t_{2}+t t_{1} t_{3}+t_{1} t_{2} t_{3}-t_{1} t^{2}\right) \\ &=\frac{1}{2 t}\left(t^{3}+t^{2} t_{2}+t^{2} t_{3}-t_{2} t_{3}-t t_{1} t_{2}-t t_{1} t_{3}-t_{1} t_{2} t_{3}+t_{1} t^{2}\right) \\ &=\frac{1}{2 t}\left(t^{3}+s_{1} t^{2}-s_{2} t-s_{3}\right) . \end{aligned} \end{aligned}$

证毕.

高中奥数 2021-12-25

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