微积分——曲线积分

曲线积分

一.第一型曲线积分

是对弧长的曲线积分

1.性质

①线性性质

$$\begin{gathered} {\int }_L[f(x,y)\pm g(x,y)]ds={\int }_{L}f(x,y)dx\pm {\int }_{L}g(x,y)ds \\ {\int }_{L}kf(x,y)ds=k{\int }_{L}f(x,y)ds(k为常数) \end{gathered}$$

（本质是极限，体现了极限的线性性质）

②

​ 若在L上有$f(x,y)⩽g(x,y)$成立，则
$${\int }_{L}f(x,y)ds⩽{\int }_{L}g(x,y)ds$$

③

$$|{\int }_{L}f(x,y)ds|⩽{\int }_L|f(x,y)|ds$$

④对称奇偶性

若曲线L关于x=0对称，而$L_{+}=\{(x,y)|(x,y)\in L,x⩾0\},$则
$${\int }_{L}f(x,y)ds=\{\begin{array}{lr}0& ,当f(-x,y)=-f(x,y)时\\ 2{\int }_{L_{+}}f(x,y)ds& ,当f(-x,y)=f(x,y)时\end{array}$$
若曲线L关于y=0对称，而$L^{+}=\{(x,y)|(x,y)\in L,y⩾0\},$则
$${\int }_{L}f(x,y)ds=\{\begin{array}{lr}0& ,当f(x,-y)=-f(x,y)时\\ 2{\int }_{L^{+}}f(x,y)ds& ,当f(x,-y)=f(x,y)时\end{array}$$

2.几何意义

​ ${\int }_{L}1ds=L的长度$

3.计算

（上面的图是用Process On画的，强烈安利这个在线绘图工具，近期增加的Latex公式编辑功能，超级香！）

（上传图片是用的GitHub+PicGo图床，也超级香！）

注：

①最后都是转化为定积分计算，积分下限一定要小于积分上限

②

​ 上图中给出的平面中第一型曲线积分第一种情况其实是参数方程的特殊情况，可以把$x$当作参数，$x=x，x^{\prime }(x)=1$

若给出$x=g(y),$则可以把y选为变量

二.第二型曲线积分

是对坐标的曲线积分，要注意积分弧段的方向

1.基本概念

​ 有界向量函数$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$在$L$上的第二型曲线积分为${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$,其中$P(x,y),Q(x,y)$称为被积函数，$L$称为积分曲线or积分弧段

​ ${\int }_{L}P(x,y)dx$为函数$P(x,y)$沿曲线$L$对$x$的曲线积分

​ ${\int }_{L}Q(x,y)dy$为函数$Q(x,y)$沿曲线$L$对$y$的曲线积分

​ 若记$ds=(dx,dy),$第二型曲线积分也可写成${\int }_{L}F\cdot ds={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

​ 类似地,若$\Gamma$为空间曲线弧，记$ds=(dx,dy,dz)$
$$\begin{gathered} F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) \\ {\int }_{\Gamma }F\cdot ds={\int }_{L}F\cdot ds={\int }_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz \end{gathered}$$

2.性质

①

​ 若$L$可分为$k$条有向光滑曲线弧$L_i(i=1,\cdots ,k),$则
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\sum _{i=1}^k{\int }_{L_i}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

②

​ 用$L^{-}$表示$L$的反向弧，则
$${\int }_{L^{-}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-{\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

③ 线性性质

​

$$
且$T$方向与$\Gamma$方向保持一致

④

​ 若L垂直于x轴，则${\int }_{L}P(x,y)dx=0$，

​ 若L垂直于y轴，则${\int }_{L}Q(x,y)dy=0$

3.与第一型曲线积分的联系

设平面上有光滑曲线$L$的参数方程为$x=x(t),y=y(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$，则两类曲线积分有如下联系：
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_L\{P(x,y)\cos \alpha +Q(x,y)\cos \beta \}ds$$

​ 其中

$$\begin{gathered} 若L起点为t=\beta ，终点为t=\alpha ,则 \\ \cos \alpha =\frac{-x^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}},\cos \beta =\frac{-y^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}},为切向量T=-\{x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)\}单位化后的两个分量, \\ T与L方向一致 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 若L起点为t=\alpha ，终点为t=\beta ,则 \\ \cos \alpha =\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}},\cos \beta =\frac{y^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}},为切向量T=\{x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)\}单位化后的两个分量 \\ T与L方向一致 \end{gathered}$$

综上
$$\{\cos \alpha ,\cos \beta \}=\frac{T}{|T|}=\pm \frac{1}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}}\{x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)\}$$
且$T$方向与$L$方向保持一致

​ 类似地，在空间曲线$\Gamma$上的两类曲线积分的联系是
$${\int }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\Gamma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )ds$$

​ 其中
$$\{\cos \alpha ,\cos \beta \cos \gamma \}=\frac{T}{|T|}=\pm \frac{1}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}}\{x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)\}$$

4.计算

​ 设$P(x,y),Q(x,y)$在有向光滑曲线$L$上有定义且连续，$L$的参数方程为

$\{\begin{array}{c}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$,$t:\alpha \to \beta$.(起点参数为$\alpha$，终点参数为$\beta$)

​ 则第二型曲线积分存在，且有
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[\phi (t),\psi (t)]{\phi }^{\prime }(t)+Q[\phi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\}dt$$
​ 特别地，若$L$方程为$y=\psi (x),x:a\to b,$则
$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[x,\psi (x)]+Q[x,\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)\}dx$$

(在process On上换了一种主题试试)

三.格林公式

1.前置知识

$$区域D\{\begin{array}{lr}单连通区域& 无“洞”\\ 多连通区域& 有“洞”\end{array}$$

​ 区域$D$边界$L$的正向：沿此方向前进时，区域D在左手边

2.格林公式

​ 格林公式：设闭区域$D$是由分段光滑正向曲线$L$围成，函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$上具有连续一阶偏导数，则有
$$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy$$

​ 反向积分，有：
$$\underset{L^{-}}{\oint }Pdx+Qdy=-\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

应用：求正向闭曲线$L$所围区域$D$的面积

​ 若令$P(x,y)=-y,Q(x,y)=x,$则有$\underset{L}{\oint }xdy-ydx=2\underset{D}{\iint }dxdy=2S$,

$S=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }xdy-ydx$

例：求椭圆$L\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}$,$0⩽\theta ⩽2\pi$所围的面积
$$S=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }xdy-ydx=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }ab({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )d\theta =\pi ab$$

格林公式可用于简化计算，若积分路径不是闭曲线，可添加辅助线，但要注意运用格林公式前，一定要保证在所谓区域$D$上具有连续一阶偏导数

四.平面曲线积分与路径无关的条件

定理：

​ 设$D$是单连通区域，函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$内具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

• （1）设$D$中任意光滑闭曲线$L$，有${\int }_{L}Pdx+Qdy=0$

• （2）对$D$中任一分段光滑曲线$L$,曲线积分${\int }_{L}Pdx+Qdy$与路径无关，只与起点和终点有关

• （3）$Pdx+Qdy$在$D$内是某一函数$u(x,y)$的全微分，即
  $$du(x,y)=Pdx+Qdy$$

• （4）在$D$内每一点都有$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

​ 注意该定理适用范围是单连通区域

​ 当积分与路径无关时曲线积分可记为

$${\int }_{AB}Pdx+Qdy={\int }_A^{B}Pdx+Qdy$$

全微分方程

​ 若一阶微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(\ast )$的左边是函数$u(x,y)$的全微分，则称此方程为全微分方程

定理:

​ 设$P(x,y),Q(x,y)$在某单连通区域$D$内有连续偏导数，则:
$$(\ast )为全微分方程⟺\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}，(x,y)\in D$$

此时$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$,$(\ast )$的通解为$u(x,y)=C$