【复变函数与积分变换】03. 复变函数的积分

3 复变函数的积分

3.1 复积分的计算

复变函数的积分定义与实变函数中的 Riemann-Stieltjes 积分有很多类似之处，因此在这篇笔记中就不占篇幅赘述。本文将主要聚焦在复积分的各种计算方法和计算技巧。

假设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在曲线 $C$ 上连续，则函数 $f(z)$ 的复积分一定存在且有
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C}udx-vdy+i{\int }_{C}vdx+udy$$
假设 $f(z)$ 在曲线 $C$ 上连续， $C$ 的参数表示式为 $z(t)=x(t)+iy(t)(\alpha \le t\le \beta )$ ，则函数 $f(z)$ 在 $C$ 上可积且
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{\alpha }^{\beta }f(z(t))z^{\prime }(t)dt$$
复积分的性质：

设 $f(z),g(z)$ 在逐段光滑的有向曲线 $C$ 上连续，

(1) 线性性
$${\int }_C(af(z)+bg(z))dz=a{\int }_{C}f(z)dz+b{\int }_{C}g(z)dz$$
(2) 设 $C^{-}$ 为 $C$ 的逆向曲线
$${\int }_{C^{-}}f(z)dz=-{\int }_{C}f(z)dz$$
(3) 设 $C=C_1+C_2$
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C_1}f(z)dz+{\int }_{C_2}f(z)dz$$
(4) 设 $L$ 为曲线 $C$ 的长度，对于 $z\in C$ ， $|f(z)|\le M$
$$|{\int }_{C}f(z)dz|\le {\int }_C|f(z)||dz|={\int }_C|f(z)|ds\le ML$$

一个重要的例子：

计算 $I={\oint }_C\frac{dz}{(z-z_0{)}^n},n\in \mathbb{Z}$ ， $C:|z-z_0|=r>0$

$C$ 的参数方程为 $z=z_0+r{e}^{i\theta }$ ， $0\le \theta \le 2\pi$ ，有 $dz=ir{e}^{i\theta }d\theta$ .

当 $n\ne 1$ 时，这个积分恒为零
$$I={\int }_0^{2\pi }\frac{ir{e}^{i\theta }}{(r{e}^{i\theta }{)}^n}d\theta =i{r}^{i-n}{\int }_0^{2\pi }{e}^{i(1-n)\theta }d\theta =\frac{r^{1-n}}{1-n}{e}^{i(1-n)\theta }{|}_n^{2\pi }=0$$
当 $n=1$ 时，这个积分很常用
$$I={\oint }_C\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$$

3.2 柯西积分定理

柯西积分定理：设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内处处解析，则它在 $D$ 内任何一条封闭曲线 $C$ 上积分为零。
$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$
注 1 ：定理中的曲线 $C$ 可以不是简单曲线；此定理成立的条件之一是
曲线 $C$ 要属于区域 $D$ ，即完全被包含即可。

注 2 ：如果 $C=\partial D$ ，则函数 $f(z)$ 在 $D$ 内与 $C$ 上解析, 即在闭区域 $D+C$ 上解析，定理仍然成立。

推论：如果函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内任意分段光滑曲线 $C$ 上的积分 ${\int }_{C}f(z)dz$ 与路径无关，仅与 $C$ 的起点和终点有关。

闭路形变原理：假设 $C$ 及 $C_1$ 为任意两条简单闭曲线， $C_1$ 在 $C$ 的内部。设函数 $f(z)$ 在 $C$ 及 $C_1$ 所围成的二连域 $D$ 内解析，在边界上连续，则
$${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_{C_1}f(z)dz$$
形变原理说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，因此利用形变原理可以把复杂的（不易参数化的）闭曲线上的积分转化为简单的（易于参数化的）闭曲线上的积分。

复合闭路原理：设 $C_1,C_2,\cdot \cdot \cdot ,C_n$ 为互不包含且互不相交的简单闭曲线，它们都被包含在简单闭曲线 $C$ 中。 $D$ 为由边界曲线 $\Gamma =C\cup C_1^{-}\cup C_2^{-}\cup ...\cup C_n^{-}$ 所围成的多连通区域，$f(z)$ 在 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D\cup \Gamma$ 上连续，则
$${\oint }_{\Gamma }f(z)dz=0$$

$${\oint }_{C}f(z)dz=\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}f(z)dz$$

原函数定理：

由柯西积分定理的推论，解析函数的积分与路径无关。因此固定起点 $z_0$ 时，可以在单连通区域 $D$ 上定义一个变上限的单值函数
$$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\xi )d\xi$$
设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则 $F(z)$ 在 $D$ 内也解析，且 $F^{\prime }(z)=f(z)$ .

推论 1 ：$f(z)$ 的任意原函数 $\Phi (z)$ 在单连通区域 $D$ 可以写成
$$\Phi (z)=F(z)+C={\int }_{z_0}^{z}f(\xi )d\xi +C(C\in \mathbb{C})$$
推论 2 ：牛顿-莱布尼兹公式
$${\int }_{z_0}^{z_1}f(\xi )d\xi =\Phi (z_1)-\Phi (z_0)$$

3.3 柯西积分公式

柯西积分公式：设函数 $f(z)$ 在有界闭区域 $\overline{D}=D+C(C=\partial D)$ 上解析，$z_0$ 为 $D$ 内的任一点，则
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$
柯西积分公式说明：在区域 $D$ 及其边界 $\partial D$ 上解析的函数 $f(z)$ ，在区域 $D$ 内任意一点处的函数值可以由它在边界上的值完全确定。

解析函数的积分平均值定理：如果曲线 $C$ 是以 $z_0$ 为中心， $R$ 为半径的圆周 $z=z_0+R{e}^{i\theta }$ ，则柯西积分公式为
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+R{e}^{i\theta })d\theta$$
即一个解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值。

3.4 解析函数的高阶导数

高阶导数的柯西积分公式：设函数 $f(z)$ 在闭区域 $\overline{D}$ 上解析， $C=\partial D$ ，则 $f(z)$ 在 $D$ 内的任意阶导数存在，且
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$$
高阶导数的应用不在于求导，而在于通过求导来求积分，即
$${\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}{f}^{(n)}(z_0)$$
柯西不等式：设函数 $f(z)$ 在闭圆盘 $C_R:\{z;|z-z_0|\le R\}$ 上解析，且有 $M=\underset{C_R}{\max }|f(z)|$ ，则有
$$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!}{R^n}M$$
Liouville 定理：有界整函数 $f(z)$ 必为常数。

证明：对于任意的 $z_0$ ，由柯西不等式，令 $n=1$ ，$R\to \infty$
$$0\le |f^{\prime }(z_0)|\le \frac{M}{R}\to 0$$
得 $|f^{\prime }(z_0)|\equiv 0$ ，因此 $f(z)$ 恒为常数。