神经网络实验：万能函数拟合器

概述

都说神经网络是一个万能的函数拟合器，如何理解这句话呢？让我们做一些实验，去获取更直观的理解。
为了直观与方便理解，我们用神经网络去拟合一元函数，也就是$y=f(x)$

实验

1. 函数$y=x$

训练样本

如图所示：

• 蓝色点代表训练样本，它们都是从函数$y=x$中取样获得
• 橙色的直线代表神经网络所表示的函数，目前未训练，与样本偏离较大

思路

拟合一条直线，我们需要使用什么结构的神经网络去拟合它呢？为了理解透彻，我们需要理解单个神经元。

单个神经元的形式为：$y=\sigma (wx+b)$

• $w$和$b$为待确定的参数
• $\sigma$为激活函数

如果去掉$\sigma$，其形式就是$y=wx+b$，刚好就是一条直线。也就是说，我们使用一个不带激活函数的神经元，就可以拟合该函数。

实验

如上图所示，使用单个输出神经元，经过20步的训练，神经网络就与目标函数拟合的很好了。所得到的参数如下图所示：

对应的函数为$y=1.0x+0.1$，与目标函数极为接近，再多训练几步即可更为接近。

2. 函数y=|x|

训练样本

该函数是一个分段函数
$$y=\{\begin{array}{ll}x& x\ge 0\\ -x& x<0\end{array}$$

思路

由于这里不是直线，这就需要用到非线性激活函数了，它可以将直线弯折。由于不涉及曲线，ReLU是比较合适的激活函数：

观察ReLU函数的曲线，一边是水平直线，另一个是一条斜线。如果能够获得2条ReLU曲线，让他们反向叠加，是不是就可以得到目标曲线了？

最终结果如下：

其中2个隐藏神经元为：

• $y_1=\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{U}(-x)$
• $y_2=\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{U}(x)$

输出神经元为：$y=y_1+y_2$，刚好得到目标曲线。

（以上结果未经参数训练，直接通过手工设置参数获得）

3. 函数

$$y=\{\begin{array}{ll}x+3& -3\le x<0\\ 3-x& 0\le x<3\\ 0& other\end{array}$$

所需隐藏神经元上升到4个。

4. 函数$y=1.8\ast \sin (3\ast x)/x)$

网络更加复杂，拟合的曲线也不再完美。

总结

随着目标函数变得更加复杂：

• 对应的神经网络也更加复杂
• 所需的训练数据量也更多
• 训练难度越来越大
• 越来越不直观，越来越难以解释

反过来说，更复杂神经网络、更多的数据量，可以用来拟合更复杂的函数。理论上可以拟合任意函数，当然，网络要无限大，数据量也要无限多。

参考软件

神经网络