线性代数——几何空间视角

Abstractness is the price of generality.

线性组合与基

• 基向量：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。
  

  此图是我们最最常用的xy坐标系下的基向量，不同坐标系有不同的基向量

• 标准(基下的)坐标系 (Coordinate System from Standard Bases)
  标准基向量：就是一般常用的xyz坐标系下的基向量。

• 用数字描述向量时，都依赖于正在使用的基
  

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• 所有可以被给定向量的线性组合所表示的向量的集合，称为给定向量所张成的空间(span)。
  

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注意：从线性组合的角度看，Ax中的x向量可以视作主体，且不是将它看作一个向量，而是看作包含了两个用于作为伸缩度量的标量的载体——x它包含了两个参数a、b，以此来操纵A中的两个列向量v、w的拉伸、延展，使其布满整个所可以布满的空间。像是布偶手脚上的两根绳子。

而在之后的线性变换和方程组求解中，应该把A当作主体，因为A在这相当于一个函数，它操纵着x。而x则回归了它最初的意义——它仅仅是一个向量。

矩阵与线性变换

• 线性变换：相当于一个函数，一个向量空间在它的作用下，空间中的任意向量都会随着该线性变换被挤压、拉伸、旋转、剪切等。
• 线性的直观化体现：变换前后网格的原点不变，其余各个网格边上的点在经过线性变换后，依旧等距分布且平行。

实际上若对整个空间中的每个点都做了同样的变换，那么网格上的点也进行了同样的变换（因为网格上的点是所有点的子集），因此用假想的网格来使这个变换更为直观化

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• 拿二维举例：一个二维线性变换 A仅由两个列向量就可以拼成。这两个列向量若不共线（线性无关），则可以表示出二维空间中的任意向量，它们也叫基。 若它们共线（线性相关），则它们张成的空间也只能落在一条线上。 若它们都为0，则它们张成的空间维度更低，只能落在原点（集合中只有一个零向量）上。
• 而这两个基向量，都是相对于最基本的标准正交阵 i=，j=组成的矩阵变换过来的。

标准坐标系(Standard Coordinate System)的基向量

• 矩阵左乘向量：可以把左侧的矩阵想成一个函数，其参数是右侧的某向量。得到的变换后的输出结果就是两者进行乘积后的结果，即输出向量。这个输出向量也可视为由线性变换矩阵中的两个基的线性组合而来。
  
  将Aα想象成f(α)

非方阵的线性变换

3 x 2 矩阵：将二维空间映射到三维空间上。
2列代表有2个基向量，3行代表每个基向量有3个坐标（比变换之前多了1个坐标）。

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2 x 3 矩阵：将三维空间映射压扁到二维空间上。

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复合变换

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• 因此说矩阵乘法无交换律，不同变换的顺序严重影响结果。

行列式

变换前

变换后行列式的意义

• 行列式 = 0：代表变换后面积为0，整个空间在该矩阵的变换下压缩到了更小维度上。

线性方程组 —— 线代的一个广泛应用领域

• Ax = v 中，A是一个线性变换，求解该方程代表寻找一个x，使得其在A的变换作用下，与向量v重合。
  

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• 寻找x的几何直观化的表示为：
  

  未变换前的x
  
  
  变换后与v重合的x

• 这个解x依赖于线性变换矩阵A，而A的变换有两种情况：一种是降维挤压了（ |A|=0 ）的变换，一种是没降维（ |A|≠0 ）的变换。

1. 没有降维：

• 只能找到一个向量x，使其在A的变换下与v重合。
• 因为空间没被压缩，因此也可通过从v反向找，对v进行逆变换，A^-1v = x。
  （因为可以根据三维向量去解另一个三维向量，而一旦空间压缩，是无法从二维向量去解出另一个三维向量的，你少了一个维的信息）

2. 变换过程把空间压缩了:

• 所有在二维空间上的向量x在线性变换A的作用下，都会被挤压到一条线上，甚至是一个点上。此时，有两个可能的结果：
  （1）运气好：目标v也落在这条直线上。它和被压缩在了这条线上的x刚好处在了同一条直线上，因此必然有个x，可以表示出v。
  （2）运气差： v不在这条直线上，因此无论如何x也与v无缘了。

基变换

• 不同基下有不同看待一个向量的视角。

• 不同基下的同一个坐标在另一个坐标系下的坐标也不同。
  若需得到 坐标系B 下的某坐标，在 坐标系A 下的坐标的表示，只需将该向量左乘坐标系B在A视角（基础）上的线性变换矩阵。（把B所想的翻译成A的语言）
  

  左侧为B 右侧为A

• 线性变换的一个重要特点：在同一个视角下，变换前后的向量仍然是对各自不同基的相同线性组合。

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• 反过来，把A视角下的坐标转换成B视角下的坐标，只需通过对A坐标系下表示的坐标左乘方才从A的基到B的基的线性变换的逆矩阵（即从B的基到A的基的线性变换矩阵）。
  
  A基 -> B基的线性变换 的逆矩阵
  
  
  用B视角表示A所看到的坐标

相似矩阵

• 两个矩阵如果相似，那么这两个矩阵实际上表示的就是对不同基之下描述的同一向量，施加的同一种线性变换。也就是说，A与B这两个相似的矩阵，本质上都是线性变换矩阵，它们的相似代表的是变换类型相同。
• 例如：一个向左旋转90°的矩阵，在标准基下的描述是 A=，在另一组基P下的描述则是B=。用A或用B对任意向量 进行左乘， 都会对该向量进行90°旋转，只不过这个向量中的坐标是相对于各自的坐标系（基向量组）描述的，所以放到同一个坐标系下，两者的坐标值不同。

以上的线性变换B，是在基变换矩阵 P=的基础下描述的。该矩阵的两个列向量表示了该坐标系下的两个基 和。

• 可以看到，不同基下的同一种线性变换，有着不同的线性变换矩阵的数值。
• 无论是A还是B，在作为函数进行左乘变换时，右侧输入向量和最终输出的向量都是在各自坐标系下描述的坐标。即若y = Bx，则x和y在几何中的意义都是B变换所在坐标系（基向量组）下的向量。

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• 以下是对另一个坐标系(B)下描述的向量，通过我们(A：标准坐标系)的线性变换语言，对其进行变换的操作，最后输出在它的坐标系下经过变换后的坐标值的原理示意。

Step 1

将B下的向量转换成A的坐标

Step 2

在A的坐标系下对上一步转换的向量作线性变换

Step 3

通过左乘逆矩阵，把输出的结果表示回B的坐标系

• 在这里向量只是任意取的一个向量，因此可以把前三个矩阵的复合封装成一个矩阵（该矩阵就是与A相似的矩阵），于是就可以对任意用B坐标系描述的向量v施加与A同类型的线性变换了。

封装左侧三个矩阵

右侧的矩阵就是B下的90°逆时针旋转矩阵

• 将相似矩阵B拿来使用，对B坐标系中的某向量进行变换。

  
  
  右侧两个输入输出向量都是以B坐标系视角看待的

特征值与特征向量

• 施工中...

二次型

• 二次型：f(x)=x^TAx
• 合同矩阵：同一个二次型在不同坐标系下的矩阵互为合同矩阵。
• 合同的几何意义：两个二次齐次函数在不同坐标系下的曲线虽然有时候相对于坐标原点的位置和角度不一样，但是它们长的却一样，依然有同一个曲线的外形，这时这两个二次齐次函数就是合同的，它们两个二次型的矩阵也称为合同矩阵。 两个矩阵A与B合同，则一定存在一个合同变换矩阵C，能使得C^TAC = B。

• 以下图中，[x'',y'']这组基构成的坐标系，是不是要比[x',y']更容易理解多了。

  
  
  图片来自知乎用户，侵删

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一些绕人的记录：

• 任何二次型的矩阵A都可以变换成标准型的矩阵（对焦矩阵）。但是变换矩阵C不一定

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其余等考完研，研究图形学的时候补充。