插入排序VS冒泡排序

大家好，今天我们来讲讲排序算法。

我们讲解的顺序按照时间复杂度来分，分成了3类，见下表——

章节	排序算法	时间复杂度	是否基于比较
一	冒泡、插入、选择	O(n^2)	是
二	快排、归并	O(nlogn)	是
三	桶、计数、基数	O(n)	否

首先像一个问题，为什么插入排序比冒泡排序火呢？

**如何分析一个“排序算法”？ **

• 排序算法的执行效率

  • **最好、最坏、平均情况时间复杂度 **

  • 时间复杂度的系数、常数、低阶

  • 比较次数和交换或移动次数

    一般分为两种：1. 元素比较大小；2. 元素交换或者移动。所以这两种情况所发生的次数很重要。

• 排序算法的内存消耗

  • 内存消耗一般是用空间复杂度来衡量，针对排序算法的空间复杂度，我们还会引入一个新的概念——原地排序，其空度为O(1)，这篇博客要讨论的三种算法，都是原地排序算法

• 排序算法的稳定性

  • 比如一组数据：2 9 3 4 8 3，排序后为2 3 3 4 8 9.

    里面有两个3，如果经过排序后，两个3的前后顺序没有改变，那它就是stable的。

  • 为什么要在乎这个前后呢？

    因为真正的软件开发中，排序的是一组对象，我们要按照对象的某个key来排序。

    我们来举个栗子：

    一共有10万人下单，我们先按下单时间排序。排序完成后，再用稳定排序算法对于下单金额重新排序。两遍排序过后，我们得到的结果就是——订单按照金额大小排序，金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序

    重点就在于稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象，在排序之后前后顺序不变

    第一次排序后，得到的是所有订单按照下单时间从早到晚有序了；

    第二次排序后，得到的是相同金额的订单仍然保持订单时间从早到晚有序。

    看一张示意图——

    订单排序示意图

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冒泡排序

Bubble Sort

OK, 我们从BS开始，学习今天的三种排序算法——

BS只会操作相邻的两个数据。 每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看看是否满足大小关系要求。

如果不满足要求，就让他俩互换， 需要注意，一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置， 重复n次，就完成了N个数据的排序。

我们来看一个栗子——

我们要对一组数据 4，5，6，3，2，1，从小到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样

经过第一次排序，6这个元素已经存储在正确的位置上了，一共有6个元素，所以只要进行6次这样的操作就好了。

冒泡排序结果图

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我们都知道，算法是可以优化的。BS也不例外，当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明达到了完全有序，不用在执行后面的操作。我们看看下图——

BS优化

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现在，我们来考虑三个问题：

第一，BS是原地排序算法吗？

I believe that 冒泡的过程只涉及到了相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空度为O(1), 是一个原地排序算法。

第二，BS是稳定的排序算法吗？

Yes, cuz 在BS中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序，元素相等的时候，不做交换，所以相同的数据的前后顺序不会改变，So, 稳定的！

第三，BS的时间复杂度是多少？

if 数据是有序的，只需要进行一次冒泡操作，就可以结束。所以时度是O(n)。

else if 数据是倒序排列，我们需要进行n次冒泡操作，所以最坏的时间复杂度为O(n^2)

BS的时间复杂度

我们再来看看平均时间复杂度， 平度就是加权平均期望时间复杂度。分析如下——

对于包含N个数据的数组，这n个数据就有n!种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行时间一定不一样

比如上面的两个栗子——第一个需要6次冒泡，第二个需要4次冒泡。

为了可以更好的分析，我们来引进两个概念——

• 有序度
• 逆序度

有序度——

数组中具有有序关系的元素对的个数，数学模型如下：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j。

有序度

因此，对于一个倒序排列的数组， 比如6 5 4 3 2 1，有序度就是0；

对于一个完全有序的数组，比如 1 2 3 4 5 6，有序度就是n(n-1)/2, 也就是15，也叫满有序度*。

逆序度——

逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序），我想你应该已经想到了。关于逆序度的栗子如下：

逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。

关于这三个概念，有一个公式：逆序度 = 满有序度 - 有序度

所以，我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，说明排序完成。

要排序的数组的初始状态是 4，5，6，3，2，1 ，其中，有序元素对有 (4，5) (4，6)(5，6)，所以有序度是 **3**。n=6，所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=**15**

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BS包含两个操作原子——比较和交换

每交换一次，有序度就加1。不管算法怎么改变，交换次数总是确定的，即为逆序度，也就是n(n-1)/2–初始有序度*。

例如上面的15-3=12，进行12次交换操作。

对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 n(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。换句话说，平均情况下，需要 n(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是 O(n2)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n2)。

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好嘞，接下来到我们的插入排序了，简记为IS

插入排序

IS 是一个动态排序的过程，也就是动态地往有序集合中添加数据，in this way, 我们可以保持集合中的数据一直有序，当然，对于一组静态数据，也是一样的。

那么IS是如何借助上面的思想来实现sort 的呢？

1. 将数组中的数据分为两个区间，已排序区间、未排序区间

   刚开始的时候，已排序区间只有一个元素，就是数组中的第一个元素。

   IS的核心思想是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，

   并且，保证已排序区间的数据一直有序，重复这个过程，直到未排序区间中的元素为空，算法结束。

   举个栗子——

   要排序的数据是 4，5，6，1，3，2，其中左侧为已排序区间，右侧是未排序区间

同样的，IS也包含两种操作，元素的比较和元素的移动

当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。

从头到尾、从尾到头 分别是不同的查找插入点的方法，元素的比较次数是有区别的。

但是对于一个given的初始序列，移动操作次数总是固定的，就等于逆序度。

可能有的人不太懂为什么移动次数就等于逆序度？

我们来看张图，估计你就明白了——

满有序度是 n*(n-1)/2=15，初始序列的有序度是 5，所以逆序度是 10。插入排序中，数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4。

OK，我们继续开始三个问题——

第一，IS是原地排序算法吗？

IS的运行并不需要额外的存储空间，所以空度为O(1)，所以，是原地。

第二，IS是稳定的排序算法吗？

在IS中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，in this way,就可以保证原有的前后顺序不变，所以IS是稳定的

第三，IS的时间复杂度是多少？

如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为 O(n)。

注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数据。如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为 O(n2)。

还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗？没错，是 O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n^2)。

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下次，我们来讲选择排序和文章一开始所讨论的问题。