【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 3792. 质数问题

一、题目

1、原题链接

3792. 质数问题

2、题目描述

给定两个整数 n 和 k，请你判断在 [2,n] 的范围内是否存在不少于 k 个质数，满足可以表示为两个相邻质数与 1 的和。

例如，19 满足条件，因为 19=7+11+1。

输入格式

第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。

每组数据占一行，包含两个整数 n 和 k。

输出格式

每组数据输出占一行，如果存在不少于 k 个质数满足条件则输出 YES，否则输出 NO。

数据范围

1≤T≤30,2≤n≤1000,0≤k≤1000

输入样例：

5
27 2
45 7
2 0
15 1
17 1

输出样例：

YES
NO
YES
YES
YES

二、解题报告

1、思路分析

我的思路
（1）利用埃氏筛法将1~n中的质数筛选出来。
（2）然后来判断每两个相邻的质数之和加1，组成的数是否出现在被筛选出的质数中。可以利用哈希表进行该步操作。
y总思路

思路来源：y总讲解视频
y总yyds

（1）先利用线性筛法将1~1000中的质数筛出来。
（2）按题目要求，枚举指定范围内的质数，判断是否可以满足题目条件。

2、时间复杂度

埃氏筛法时间复杂度为O(loglogn)，线性筛法时间复杂度为O(n)

3、代码详解

我的思路代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N=1010;
int T,n,k;
int primes[N],cnt;
unordered_set<int> s;
bool st[N];
int ans;
//埃氏筛法筛质数
void getPrimes(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++]=i;
            s.insert(i);
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
                st[j]=true;
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>k;
        memset(primes,0,sizeof primes);
        memset(st,0,sizeof st);
        s.clear();
        ans=0;
        cnt=0;
        getPrimes(n);
        for(int i=0;i<cnt-1;i++){
            //在哈希表中进行查找，判断这两个相邻的质数是否满足条件
            if(s.count(primes[i]+primes[i+1]+1)) ans++;
        }
        if(ans>=k) cout<<"YES"<<endl;
        else cout<<"NO"<<endl;
    }
    return 0;
}

y总思路代码

#include 
using namespace std;
const int N=1010;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
int T,n,k;
//线性筛法
void getPrimes(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
            st[i*primes[j]]=true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(){
    cin>>T;
    getPrimes(1000);     //将1~1000的质数筛出来
    while(T--){
        cin>>n>>k;
        int ans=0;
        //枚举每个质数，判断是否满足条件
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(!st[i]){
                for(int j=1;j<cnt;j++){
                    if(i==primes[j]+primes[j-1]+1){
                        ans++;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        if(ans>=k) cout<<"YES"<<endl;
        else cout<<"NO"<<endl;
    }
    return 0;
}

三、知识风暴

筛质数

埃氏筛法

• 基本思想：枚举每个数，将每个质数的倍数删掉，得到的没有被删掉的数即为质数。

线性筛法

• 将朴素版筛法优化到了线性时间复杂度