是从图的某一顶点出发,按照某种搜索方式对图中所有顶点访问一次且仅一次。图的遍历可以解决很多搜索问题,在实际中应用非常广泛。图的遍历根据搜索方式的不同,分为广度优先搜索和深度优先搜索。
深度优先搜索(Depth First Search, DFS)是最常见的图搜索方法之一。深度优先搜索沿着一条路径一直走下去,无法行进时,回退到刚刚访问的节点,似“不撞南墙不回头,不到黄河不死心”。深度优先遍历是按照深度优先搜索的方式对图进行遍历。
深度优先遍历秘籍:后被访问的顶点,其邻接点先被访问。
根据深度优先遍历秘籍,后来先服务,可以借助于栈实现。递归本身就是使用栈实现的,因此使用递归方法更方便。
//深度优先遍历 邻接矩阵
#include
using namespace std;
#define MaxVnum 100 //顶点数最大值
bool visited[MaxVnum]; //访问标志数组,其初值为"false"
typedef char VexType; //顶点的数据类型,根据需要定义
typedef int EdgeType; //边上权值的数据类型,若不带权值的图,则为0或1
typedef struct {
VexType Vex[MaxVnum];
EdgeType Edge[MaxVnum][MaxVnum];
int vexnum, edgenum; //顶点数,边数
}AMGragh;
int locatevex(AMGragh G, VexType x)
{
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//查找顶点信息的下标
if (x == G.Vex[i])
return i;
return -1;//没找到
}
void CreateAMGraph(AMGragh& G)//创建无向图的邻接矩阵
{
int i, j;
VexType u, v;
cout << "请输入顶点数:" << endl;
cin >> G.vexnum;
cout << "请输入边数:" << endl;
cin >> G.edgenum;
cout << "请输入顶点信息:" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//输入顶点信息,存入顶点信息数组
cin >> G.Vex[i];
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//初始化邻接矩阵所有值为0,如果是网,则初始化邻接矩阵为无穷大
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.Edge[i][j] = 0;
cout << "请输入每条边依附的两个顶点:" << endl;
while (G.edgenum--)
{
cin >> u >> v;
i = locatevex(G, u);//查找顶点u的存储下标
j = locatevex(G, v);//查找顶点v的存储下标
if (i != -1 && j != -1)
G.Edge[i][j] = G.Edge[j][i] = 1; //邻接矩阵储置1,若有向图G.Edge[i][j]=1
else
{
cout << "输入顶点信息错!请重新输入!" << endl;
G.edgenum++;//本次输入不算
}
}
}
void print(AMGragh G)//输出邻接矩阵
{
cout << "图的邻接矩阵为:" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
cout << G.Edge[i][j] << "\t";
cout << endl;
}
}
void DFS_AM(AMGragh G, int v)//基于邻接矩阵的深度优先遍历
{
int w;
cout << G.Vex[v] << "\t";
visited[v] = true;
for (w = 0; w < G.vexnum; w++)//依次检查v的所有邻接点
{
if (G.Edge[v][w] && !visited[w])//v,w邻接且w未被访问
{
DFS_AM(G, w);//从w顶点开始递归深度优先遍历
}
}
}
//如果不是一个连通图,还需要进行验证.
void DFS_AM(AMGragh G)
{
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//检查未被访问的顶点
{
if (!visited[i])
{
DFS_AM(G, i);
}
}
}
int main()
{
int v;
VexType c;
AMGragh G;
CreateAMGraph(G);
print(G);
cout << "请输入遍历连通图的起始点: ";
cin >> c;
v = locatevex(G, c);//查找顶点u的存储下标
if (v != -1)
{
cout << "深度优先搜索遍历连通图结果: " << endl;
DFS_AM(G);
}
else {
cout << "输入顶点信息错误!请重新输入!" << endl;
}
return 0;
}
//深度优先遍历 邻接表
#include
using namespace std;
const int MaxVnum = 100;//顶点数最大值
bool visited[MaxVnum]; //访问标志数组,其初值为"false"
typedef char VexType;//顶点的数据类型为字符型
typedef struct AdjNode { //定义邻接点类型
int v; //邻接点下标
struct AdjNode* next; //指向下一个邻接点
}AdjNode;
typedef struct VexNode { //定义顶点类型
VexType data; // VexType为顶点的数据类型,根据需要定义
AdjNode* first; //指向第一个邻接点
}VexNode;
typedef struct {//定义邻接表类型
VexNode Vex[MaxVnum];
int vexnum, edgenum; //顶点数,边数
}ALGragh;
int locatevex(ALGragh G, VexType x)
{
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//查找顶点信息的下标
if (x == G.Vex[i].data)
return i;
return -1;//没找到
}
void insertedge(ALGragh& G, int i, int j)//插入一条边
{
AdjNode* s;
s = new AdjNode;
s->v = j;
s->next = G.Vex[i].first;
G.Vex[i].first = s;
}
void printg(ALGragh G)//输出邻接表
{
cout << "----------邻接表如下:----------" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
AdjNode* t = G.Vex[i].first;
cout << G.Vex[i].data << ": ";
while (t != NULL)
{
cout << "---->";
cout << "[" << G.Vex[t->v].data << "]";
t = t->next;
}
cout << endl;
}
}
void CreateALGraph(ALGragh& G)//创建无向图邻接表
{
int i, j;
VexType u, v;
cout << "请输入顶点数和边数:" << endl;
cin >> G.vexnum >> G.edgenum;
cout << "请输入顶点信息:" << endl;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)//输入顶点信息,存入顶点信息数组
cin >> G.Vex[i].data;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
G.Vex[i].first = NULL;
cout << "请依次输入每条边的两个顶点u,v" << endl;
while (G.edgenum--)
{
cin >> u >> v;
i = locatevex(G, u);//查找顶点u的存储下标
j = locatevex(G, v);//查找顶点v的存储下标
if (i != -1 && j != -1)
{
insertedge(G, i, j);
//insertedge(G, j, i);//无向图多插入一条边
}
else
{
cout << "输入顶点信息错!请重新输入!" << endl;
G.edgenum++;//本次输入不算
}
}
}
void DFS_AL(ALGragh G, int v)//基于邻接表的深度优先遍历
{
int w;
AdjNode* p;//辅助指针
cout << G.Vex[v].data << "\t";
visited[v] = true;
p = G.Vex[v].first;//获取该顶点的第一个邻接点
while (p)//依次检查v的所有邻接点
{
w = p->v;//w为v的邻接点.
if (!visited[w])//w未被访问,则从w出发,递归深度优先遍历
{
DFS_AL(G, w);
}
p = p->next;
}
}
void DFS_AL(ALGragh G) //非连通图,基于邻接表的深度优先遍历
{
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)//检查未被访问的点.
if (!visited[i])
{
DFS_AL(G, i);
}
}
int main()
{
ALGragh G;
int v;
VexType c;
CreateALGraph(G);//创建有向图邻接表
printg(G);//输出
cout << "请输入遍历连通图的起始点: ";
cin >> c;
v = locatevex(G, c);
if (v != -1)
{
cout << "深度优先搜索遍历连通图结果: " << endl;
DFS_AL(G, v);
DFS_AL(G);
}
else
{
cout << "输入顶点信息错误!请重新输入!" << endl;
}
return 0;
}
- 基于邻接矩阵的DFS算法
查找每个顶点的邻接点需要O(n)时间,一共n个顶点,总的时间复杂度为O(n^2),使用了一个递归工作栈,空间复杂度为O(n)。- 基于邻接表的DFS算法
查找顶点vi的邻接点需要O(d(vi))时间,d(vi)为vi的出度(无向图为度),对有向图而言,所有顶点的出度之和等于边数e,对无向图而言,所有顶点的度之和等于2e,因此查找邻接点的时间复杂度为O(e),加上初始化时间O(n),总的时间复杂度为O(n+e),(由于n和e大小未知,所以时间复杂度两者都涉及)使用了一个递归工作栈,空间复杂度为O(n)。
广度优先搜索(Breadth First Search, BFS),又称宽度优先搜索,是最常见的图搜索方法之一。广度优先搜索是从某个顶点(源点)出发,一次性访问所有未被访问的邻接点,再依次从这些访问过的邻接点出发……似水中涟漪,一层层地传播开来.
广度优先遍历秘籍:先被访问的顶点,其邻接点先被访问。
根据广度优先遍历秘籍,先来先服务,可以借助于队列实现。每个节点访问一次且只访问一次,因此可以设置一个辅助数组visited[i]=false,表示第i个顶点未访问;visited[i]=true,表示第i个顶点已访问。
#include
#include //引入队列头文件
using namespace std;
#define MaxVnum 100 //顶点数最大值
bool visited[MaxVnum]; //访问标志数组,其初值为"false"
typedef char VexType; //顶点的数据类型,根据需要定义
typedef int EdgeType; //边上权值的数据类型,若不带权值的图,则为0或1
typedef struct {
VexType Vex[MaxVnum];
EdgeType Edge[MaxVnum][MaxVnum];
int vexnum, edgenum; //顶点数,边数
}AMGragh;
int locatevex(AMGragh G, VexType x)
{
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//查找顶点信息的下标
if (x == G.Vex[i])
return i;
return -1;//没找到
}
void CreateAMGraph(AMGragh& G)//创建有向图的邻接矩阵
{
int i, j;
VexType u, v;
cout << "请输入顶点数:" << endl;
cin >> G.vexnum;
cout << "请输入边数:" << endl;
cin >> G.edgenum;
cout << "请输入顶点信息:" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//输入顶点信息,存入顶点信息数组
cin >> G.Vex[i];
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//初始化邻接矩阵所有值为0,如果是网,则初始化邻接矩阵为无穷大
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.Edge[i][j] = 0;
cout << "请输入每条边依附的两个顶点:" << endl;
while (G.edgenum--)
{
cin >> u >> v;
i = locatevex(G, u);//查找顶点u的存储下标
j = locatevex(G, v);//查找顶点v的存储下标
if (i != -1 && j != -1)
G.Edge[i][j] = G.Edge[j][i] = 1; //邻接矩阵储置1,若无向图G.Edge[i][j]=G.Edge[j][i]=1
else
{
cout << "输入顶点信息错!请重新输入!" << endl;
G.edgenum++;//本次输入不算
}
}
}
void print(AMGragh G)//输出邻接矩阵
{
cout << "图的邻接矩阵为:" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
cout << G.Edge[i][j] << "\t";
cout << endl;
}
}
void BFS_AM(AMGragh G, int v)
{
int u, w;
queue<int> Q;//创建一个队列,里面存放节点的下标
cout << G.Vex[v] << "\t";
visited[v] = true;
Q.push(v);//源点v入队
while (!Q.empty())
{
u = Q.front();//取对头
Q.pop();
for (w = 0; w < G.vexnum; w++)//一次检查u的所有邻接点
{
if (G.Edge[u][w] && !visited[w])//是邻接点但没有访问则进行访问
{
cout << G.Vex[w] << "\t";
visited[w] = true;
Q.push(w);
}
}
}
}
void BFS_AM(AMGragh G){
for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
if(!visited[i]){
BFS_AM(G,i);
}
}
}
int main()
{
int v;
VexType c;
AMGragh G;
CreateAMGraph(G);
print(G);
cout << "请输入遍历连通图的起始点: ";
cin >> c;
v = locatevex(G, c);//查找顶点u的存储下标
if (v != -1)
{
cout << "广度优先搜索遍历连通图结果: " << endl;
BFS_AM(G, v);
BFS_AM(G);
}
else {
cout << "输入顶点信息错! 请重新输入!" << endl;
}
return 0;
}
#include
#include //引入队列头文件
using namespace std;
const int MaxVnum = 100;//顶点数最大值
bool visited[MaxVnum]; //访问标志数组,其初值为"false"
typedef char VexType;//顶点的数据类型为字符型
typedef struct AdjNode { //定义邻接点类型
int v; //邻接点下标
struct AdjNode* next; //指向下一个邻接点
}AdjNode;
typedef struct VexNode { //定义顶点类型
VexType data; // VexType为顶点的数据类型,根据需要定义
AdjNode* first; //指向第一个邻接点
}VexNode;
typedef struct {//定义邻接表类型
VexNode Vex[MaxVnum];
int vexnum, edgenum; //顶点数,边数
}ALGragh;
int locatevex(ALGragh G, VexType x)
{
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//查找顶点信息的下标
if (x == G.Vex[i].data)
return i;
return -1;//没找到
}
void insertedge(ALGragh& G, int i, int j)//插入一条边
{
AdjNode* s;
s = new AdjNode;
s->v = j;
s->next = G.Vex[i].first;
G.Vex[i].first = s;
}
void printg(ALGragh G)//输出邻接表
{
cout << "----------邻接表如下:----------" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
AdjNode* t = G.Vex[i].first;
cout << G.Vex[i].data << ": ";
while (t != NULL)
{
cout << "---->";
cout << "[" << G.Vex[t->v].data << "]";
t = t->next;
}
cout << endl;
}
}
void CreateALGraph(ALGragh& G)//创建有向图邻接表
{
int i, j;
VexType u, v;
cout << "请输入顶点数和边数:" << endl;
cin >> G.vexnum >> G.edgenum;
cout << "请输入顶点信息:" << endl;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)//输入顶点信息,存入顶点信息数组
cin >> G.Vex[i].data;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
G.Vex[i].first = NULL;
cout << "请依次输入每条边的两个顶点u,v" << endl;
while (G.edgenum--)
{
cin >> u >> v;
i = locatevex(G, u);//查找顶点u的存储下标
j = locatevex(G, v);//查找顶点v的存储下标
if (i != -1 && j != -1)
insertedge(G, i, j);
else
{
cout << "输入顶点信息错!请重新输入!" << endl;
G.edgenum++;//本次输入不算
}
}
}
void BFS_AL(ALGragh G, int v)//基于邻接表的广度优先遍历
{
int u, w;
AdjNode* p;
queue<int> Q;
cout << G.Vex[v].data << "\t";
visited[v] = true;
Q.push(v);
while (!Q.empty())
{
u = Q.front();//取对头元素
Q.pop();
p = G.Vex[u].first;
while (p)
{
w = p->v;
if (!visited[w])//w未被访问
{
cout << G.Vex[w].data << "\t";
visited[w] = true;
Q.push(w);
}
p = p->next;
}
}
}
void BFS_AL(ALGragh G)//非连通图,基于邻接表的广度优先遍历
{
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//查漏点.
{
if (!visited[i])//未被访问则进行访问
{
BFS_AL(G, i);
}
}
}
int main()
{
ALGragh G;
int v;
VexType c;
CreateALGraph(G);//创建有向邻接表
printg(G);//输出
cout << "请输入遍历连通图的起始点: ";
cin >> c;
v = locatevex(G, c);//查找顶点u的存储下标
if (v != -1)
{
cout << "广度优先搜索遍历连通图结构: " << endl;
BFS_AL(G, v);
BFS_AL(G);
}
else
{
cout << "输入顶点错!请重新输入!" << endl;
}
return 0;
}
- 基于邻接矩阵的BFS算法
查找每个顶点的邻接点需要O(n)时间,一共n个顶点,总的时间复杂度为O(n^2),使用了一个辅助队列,最坏的情况下每个顶点入队一次(访问完就入队),空间复杂度为O(n)。- 基于邻接表的BFS算法
查找顶点vi的邻接点需要O(d(vi))时间,d(vi)为vi的出度(无向图为度),对有向图而言,所有顶点的出度之和等于边数e,对无向图而言,所有顶点的度之和等于2e,因此查找邻接点的时间复杂度为O(e),加上初始化时间O(n),总的时间复杂度为O(n+e),使用了一个辅助队列,最坏的情况下每个顶点入队一次,空间复杂度为O(n)。
- 容易发现,广度优先和深度优先的算法效率基本相同,在实际应用中要根据需要合理选择.
- 需要注意的是,一个图的邻接矩阵是唯一的,因此基于邻接矩阵的BFS或DFS遍历序列也是唯一的。而图的邻接表不是唯一的,边的输入顺序不同,正序或逆序建表都会影响邻接表的邻接点顺序,因此基于邻接表的BFS或DFS遍历序列不是唯一的。