【题解】[CQOI2011]动态逆序对

题目

题目大意

对于一个数组$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$，动态删除其中的点，在每次删除前求出逆序对个数。

• 逆序对：当$i<j,a_i>a_j$时，$i$与$j$构成逆序对

分析

本题解使用CDQ分治

简述：
需求区间$[l,r]$每个数的答案，将其分为两个子区间$[l,mid]$和$[mid+1,r]$，先递归处理子区间内部，再计算两个区间之间的相互贡献

首先，发现每次删除一个数，那么只要用当前答案减去这个数的贡献即可
问题就转移到了求每个数的逆序对个数

对于每个数，求逆序对可分为两个部分：

• 位置在其前面，值比其大，删除时间比其晚；
• 位置在其后面，值比其小，删除时间比其晚。

显而易见地，三维偏序

在本题中，通过排序，位置可以很轻松地压掉

在CDQ分治中，可以消去值，即对值排序

注意，此时区间$[l,mid]$和$[mid+1,r]$内部的位置已经乱序，但CDQ分治是计算左区间与右区间之间的相互影响，不会计算区间内部，因此对于两区间来说，左区间的每一个数的位置都会比右区间的任意一个位置小，所以并没有关系

这时候，只需要计算删除时间的影响了

右区间对左区间的影响，其实具有单调性
因为若$a_i<b_i$，那么一定有$a_i<b_{i+1}$

所以我们用树状数组统计，树状数组下标为删除时间，树状数组的值存储个数
那么当前节点的贡献就是删除时间（即下标）大于当前删除时间的总数
也就是树状数组的$sum(de{l}_i,m+1)$

对于不删除的点，记其删除时间为$m+1$，所以求和求到$m+1$

记得开longlong

AC代码

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
#define lowbit(x) x & (-x)//与函数定义无区别
const int N = 100005;
int n, m, tr[N], pl[N];//pl[i]指值为i的数在数组中的位置
LL ans = 0;
struct node {
    int a, b;
    LL sum;
} p[N];//a 代表数组的值，b 代表删除时间
bool cmp1(node T1, node T2) { return T1.a < T2.a; }
bool cmp2(node T1, node T2) { return T1.b < T2.b; }
inline void update(int x, int y) { for (; x <= n + 1; x += lowbit(x)) tr[x] += y; }
inline int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    for (; x; x -= lowbit(x)) sum += tr[x];
    return sum;
}
inline void solve(int l, int r) {//CDQ分治
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    solve(l, mid), solve(mid + 1, r);//先解决子问题内部的事
    sort(p + l, p + mid + 1, cmp1), sort(p + mid + 1, p + r + 1, cmp1);//分别按值排序
    int j = mid + 1;
    for (int i = l; i <= mid; i++) {
        while (p[i].a > p[j].a && j <= r) update(p[j].b, 1), j++;//使左边大于右边，以左边为基准，计算右边对当前的贡献
        p[i].sum += getsum(m + 1) - getsum(p[i].b);//前缀和做差
    }
    for (int i = mid + 1; i < j; i++) update(p[i].b, -1);//归零
    j = mid;
    for (int i = r; i >= mid + 1; i--) {
        while (p[j].a > p[i].a && j >= l) update(p[j].b, 1), j--;//以右边为基准，计算左边对当前的贡献
        p[i].sum += getsum(m + 1) - getsum(p[i].b);
    }
    for (int i = mid; i > j; i--) update(p[i].b, -1);//归零
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int x;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &p[i].a), pl[p[i].a] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &x), p[pl[x]].b = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!p[i].b)
            p[i].b = m + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += getsum(n + 1) - getsum(p[i].a), update(p[i].a, 1);//计算原始的值
    for (int i = 1; i <= n; i++) update(p[i].a, -1);
    solve(1, n);
    sort(p + 1, p + n + 1, cmp2);//按删除时间排序，准备输出
    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans), ans -= p[i].sum;
    return 0;
}

END