小结与思考
一、目标瞭望台
1. 知道勾股定理及其逆定理的具体内容，会用面积法证明勾股定理.
2．会利用勾股定理求直角三角形的边长，能识别一个三角形是否是直角三角形.
3. 能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
二、 知识回顾
直角三角形的三条边有什么数量关系？判别一个三角形是直角三角形，你有哪些方法？请试着解决下列问题.
已知，点D是ABC边BC上一点，且，则成立吗？
（勾股定理及逆定理的综合运用）
归纳：（1）直角三角形的三边数量关系：__________________________________.
（2）三条边满足：________________________的三角形是直角三角形.
2. 典例剖析
例1 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
变式：折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC.
（折叠问题中的勾股定理）
例2 如图所示，一透明的圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm.今有一根长22cm的吸管任意放入杯中，若不讲吸管精细，则吸管露在杯口外的长度最少是多少？
变式：如图所示，一透明的圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为3cm，高为8cm. 若不讲吸管精细，吸管露在杯口外的长度最少是5cm，求吸管总长.
（勾股定理的简单应用──吸管露出杯口外的长度）
3．能力拓展
如图，AD是ABC的中线，AB=5，AC=3，AD=2，求ABC的面积.
（勾股定理逆定理的应用）
三、习得回望亭
1. 勾股定理及其逆定理的具体内容是什么？
2. 如何应用勾股定理解决问题？如何应用勾股定理逆定理解决问题？
（本章知识梳理）
习题
第1题
下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；
⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．5组 B．4组 C．3组 D．2组
解析
①中有；
②中有；
③中；
④中有（3a）2+（4a）2=（5a）2；
⑤中有（m2﹣n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2，所以可以构成4组直角三角形．
故选B．
第2题
已知直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B.8 C. D.
解析
由题意得，斜边为．所以斜边上的高=12×5÷13= ．
故选D．
第3题
小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
解析
画出示意图如下所示：
www
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，
在RtABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴AB=12m，
即旗杆的高是12m．
故选C．
第4题
如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．
www
解析
∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：(a﹣b)2，
所以c2=4×ab+（a﹣b）2，
即c2=a2+b2，
在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．
第5题
ABC的三边a，b，c满足，试问ABC是什么三角形.
解析
ABC是直角三角形.
（利用勾股定理逆定理判定直角三角形）
第6题
动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A'在边BC上可移动的最大距离是多少？
解析
经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA’取最大值和当点Q与D重合时，BA’的最小值即可求得点A'在边BC上可移动的最大距离．
（1）当P点与B重合时，如下图：BA’取最大值等于AB等于3；
（2）当点Q与D重合时，如下图：
在RtA’CD中，CD=AB=3，A’D=AD=5，由勾股定理得A’C=4，此时BA’取最小值为
BC-A’C=AD-A’C=5-4=1．
则点A’在BC边上移动的最大距离为3-1=2．