游戏中的概率计算

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抽奖概率-三种算法

最近接触到一个抽奖需求，加上平时玩的暗黑3很少掉暗金装备，就抽空学习下这类概率问题，暂时按网络称为掉宝类型概率。
例如游戏中打败一个boss，会掉落下面其中一个物品，而每个物品都有一定概率：

1. 靴子 20%
2. 披风 25%
3. 饰品 10%
4. 双手剑 5%
5. 金币袋 40%
   现在的问题就是如何根据概率掉落一个物品给玩家。

一. 一般算法：生成一个列表，分成几个区间，例如列表长度100，1-20是靴子的区间，21-45是披风的区间等，然后随机从100取出一个数，看落在哪个区间。算法时间复杂度：预处理O(MN)，随机数生成O(1)，空间复杂度O(MN)，其中N代表物品种类，M则由最低概率决定。

二、离散算法：也就是上面的改进，竟然1-20都是靴子，21-45都是披风，那抽象成小于等于20的是靴子，大于20且小于等于45是披风，就变成几个点[20,45,55,60,100]，然后也是从1到99随机取一个数R，按顺序在这些点进行比较，知道找到第一个比R大的数的下标，比一般算法减少占用空间，还可以采用二分法找出R，这样，预处理O(N)，随机数生成O(logN)，空间复杂度O(N)。
请点击查看详细：用JavaScript玩转游戏编程(一)掉宝类型概率

三、Alias Method
Alias Method就不太好理解，实现很巧妙，推荐先看看这篇文章：
Darts, Dice, and Coins: Sampling from a Discrete Distribution
大致意思：把N种可能性拼装成一个方形（整体），分成N列，每列高度为1且最多两种可能性，可能性抽象为某种颜色，即每列最多有两种颜色，且第n列中必有第n种可能性，这里将第n种可能性称为原色。
想象抛出一个硬币，会落在其中一列，并且是落在列上的一种颜色。这样就得到两个数组：一个记录落在原色的概率是多少，记为Prob数组，另一个记录列上非原色的颜色名称，记为Alias数组，若该列只有原色则记为null。

之前的例子，为了便于演示换成分数

1. 靴子 20% -> 1/4
2. 披风 25% -> 1/5
3. 饰品 10% -> 1/10
4. 双手剑 5% -> 1/20
5. 金币袋 40% -> 2/5
   然后每个都乘以5（使每列高度为1），再拼凑成方形
   拼凑原则：每次都从大于等于1的方块分出一小块，与小于1的方块合成高度为1

由上图方形可得到两个数组：
Prob: [3/4, 1/4, 1/2, 1/4, 1]
Alias: [4, 4, 0, 1, null] (记录非原色的下标)

之后就根据Prob和Alias获取其中一个物品
随机产生一列C，再随机产生一个数R，通过与Prob[C]比较，R较大则返回C，反之返回Alias[C]。

Alias Method 复杂度：预处理O(NlogN)，随机数生成O(1)，空间复杂度O(2N)

PHP实现Alias Method

/**
 * @desc 拼凑，获得Prob和Alias数组
 * @param array $data
 * @param array $prob
 * @param array $alias
 */
function init(array $data, array &$prob, array &$alias) {
    $nums = count($data);
    $small = $large = array();
    for ($i = 0; $i < $nums; ++$i) {
        $data[$i] = $data[$i] * $nums; // 扩大倍数，使每列高度可为1
         
        /** 分到两个数组，便于组合 */
        if ($data[$i] < 1) {
            $small[] = $i;
        } else {
            $large[] = $i;
        }
    }
 
    /** 将超过1的色块与原色拼凑成1 */
    while (!empty($small) && !empty($large)) {
        $n_index = array_shift($small);
        $a_index = array_shift($large);
         
        $prob[$n_index] = $data[$n_index];
        $alias[$n_index] = $a_index;
        // 重新调整大色块
        $data[$a_index] = ($data[$a_index] + $data[$n_index]) - 1;
         
        if ($data[$a_index] < 1) {
            $small[] = $a_index;
        } else {
            $large[] = $a_index;
        }
    }
     
    /** 剩下大色块都设为1 */
    while (!empty($large)) {
        $n_index = array_shift($large);
        $prob[$n_index] = 1;
    }
     
    /** 一般是精度问题才会执行这一步 */
    while (!empty($small)) {
        $n_index = array_shift($small);
        $prob[$n_index] = 1;
    }
}
 
/**
 * @desc 获取某种物品
 * @param array $prob
 * @param array $alias
 * @return int
 */
function generation($prob, $alias) {
    $nums = count($prob) - 1;
 
    $MAX_P = 100000; // 假设最小的几率是万分之一
    $coin_toss = rand(1, $MAX_P) / $MAX_P; // 抛出硬币
     
        $col = rand(0, $nums); // 随机落在一列
    $b_head = ($coin_toss < $prob[$col]) ? TRUE : FALSE; // 判断是否落在原色
     
    return $b_head ? $col : $alias[$col];
}
 
$data = array(0.25, 0.2, 0.1, 0.05, 0.4);
$prob = $alias = array();
 
init($data, $prob, $alias);
$result = generation($prob, $alias);


 

$count = array(0, 0, 0, 0, 0);
for ($i = 0; $i < 10000; $i++) {
    $result = generation($prob, $alias);
    $count[$result]++;
}
echo '
';
print_r($count);
echo '
';
 
/**
Array
(
    [0] => 2463
    [1] => 1982
    [2] => 972
    [3] => 507
    [4] => 4076
)

---

以下部分就是我自己写的了。
此外还有第四种，js实现如下：

//probArr为权值，如[30,40,40]
function getRandRes(probArr){
  let total=0;
  let length=probArr.length;
  for(let i=0;i<length;++i){
    total+=probArr[i];
  }

  let rand=Math.random()*total;
  for(let i=0;i<length;++i){
    if(rand<probArr[i]){
      return i;
    }else{
      rand-=probArr[i];
    }
  }

}



let prob=[30,40,30];
let count=[0,0,0];
for(let i=0;i<50000;++i){
  count[getRandRes(prob)]++;
}

console.log(count);

let getProb=count.map(function(v){
  return v/50000;
});
console.log(getProb);

简单测试了下，输出结果如下

Array(3) [15140, 20046, 14814]
Array(3) [0.3028, 0.40092, 0.29628]

第三种算法也用js实现了：

  /**
   * @desc 拼凑，获得Prob和Alias数组
   * @param array $data
   * @param array $prob
   * @param array $alias
   */
  function init(data, prob, alias) {
    let nums = data.length;
    let small = [];
    let large = [];
    for (let i = 0; i < nums; ++i) {
        data[i] = data[i] * nums; // 扩大倍数，使每列高度可为1
        
        /** 分到两个数组，便于组合 */
        if (data[i] < 1) {
            small.push(i);
        } else {
            large.push(i);
        }
    }

    /** 将超过1的色块与原色拼凑成1 */
    while (small.length>0 && large.length>0){  
      let n_index = small.shift();
      let a_index = large.shift();
        
      prob[n_index] = data[n_index];
      alias[n_index] = a_index;
      // 重新调整大色块
      data[a_index] = (data[a_index] + data[n_index]) - 1;
        
      if (data[a_index] < 1) {
          small.push(a_index);
      } else {
          large.push(a_index);
      }
    }

    /** 剩下大色块都设为1 */
    while (large.length>0) {
      let n_index = large.shift();
      prob[n_index] = 1;
    }
 
    /** 一般是精度问题才会执行这一步 */
    while (small.length>0) {
        let n_index = small.shift();
        prob[n_index] = 1;
    }


  }

  /**
   * @desc 获取某种物品
   * @param array $prob
   * @param array $alias
   * @return int
   */
  function generation(prob, alias) {
    let nums = prob.length;

    let coin_toss = Math.random();
    
    let col = Math.floor(Math.random()*nums);
    let b_head = (coin_toss < prob[col]) ? true : false; // 判断是否落在原色
    
    return b_head ? col : alias[col];
  }


  let data = [0.25, 0.2, 0.1, 0.05, 0.4];
  let prob = [];
  let alias = [];
  
  init(data, prob, alias);

  let count = [0, 0, 0, 0, 0];
  for (let i = 0; i < 50000; i++){
      let result = generation(prob, alias);
      count[result]++;
  }

  let coutPorb=count.map(function(v){
    return v/50000;
  })
  console.log("result is ",coutPorb);

测试结果如下：

Array(5) [0.24962, 0.19972, 0.10012, 0.04866, 0.40188]

第三种算法要求传入概率数组，相加起来要为1。

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参考文章：
【数学】时间复杂度O(1)的离散采样算法—— Alias method/别名采样方法

Alias Method解决随机类型概率问题

实验比较各离散采样算法
游戏开发之随机概率的选择算法