线性组合（linear combinations）, 生成空间（span）, 基向量（basis vectors）——线性代数本质（二）

Mathematics requires a small dose, not of genius, but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity.

​ — Angus K. Rodgers

基向量（basis vectors）

在直角坐标系中，有两个基本的向量： 和 ，它们的单位长度都为1，根据前一篇文章《向量是什么》中描述的向量的加法和乘法的意义，用这两个向量就可以表示直角坐标系中的任何向量，例如 可以表示为 ，因此，这两个向量有一个专有的名称——基向量（basis vectors）。同时，在 轴上的向量 被称为 i-hat，符号为 ；而在 轴上的向量 被称为 j-hat，符号为 。

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线性组合（Linear combinations）

推而广之，在坐标系中，除了基向量外，任何两个向量的进行基本的加法和乘法运算后，都可以组合成一个新的向量

在线性组合中， 和 是变量，即Scalars，如果它们不断变化，则得到的新向量也可以覆盖整个直角坐标系（不包括 和 在一条直线或一个点上的情况）。

把 和 看做基本向量，它们和 、 一样，通过改变 scalars，线性变换后的向量集都可以覆盖整个坐标系，区别在于，对于同样的输出向量（方向和长度一样），它们的 scalars 的值是不同的，选取不同的向量作为基本向量，可以构建不同的坐标系。

线性组合中的线性从何而来？一种说法是， 或 中，保持其中一个参数不变，则结果向量的顶点将在坐标系中画出一条直线，如下面的右图所示：

保持 a 不变，不断变换 b 的值，得出右图的向量尾部落在一条直线上

生成空间（span）

生成空间的定义：

The "span" of and is the set of all their linear combinations.

向量 和向量 的生成空间为它们线性组合和所有集合

二维空间中，生成空间（span）有三种情况

1. 如果 和 在一条直线上，且都不是原点，则 span 将是一条直线

2. 如果 和 都是原点，则 span 也是原点

3. 以上都不是，则 span 覆盖整个坐标系

三维空间中，如果有 2 个 vectors，则它们的线性组合形成的 span 为该维空间中的一个平面；如果有 3 个 vectors，且每一个 vector 和另外 2 个所组成的 span 不在同一个平面上，则这 3 个 vectors 可以构造三维空间中任意一个向量。

可以想象一下，当你引入并不断变换第三个向量（拉伸、翻转、压缩），它会把前两个向量组成的平面在空间中来回移动——相当于席卷了整个空间

线性相关（Linearly dependent）

如果新增的向量和原 span 重合，则它不会给 span 带来更多的变化，例如在二维空间中，2 条 vectors 在同 1 条直线上；三维空间中，第 3 条 vector 在前 2 条 vectors 所组成的平面上，则删去最后 1 条 vector 也不会给 span 带来任何变化，这种新的 vector 是多余的，我们把它称为 Linearly dependent ：其中 1 条 vector 可以用其他的 vectors 来表示，例如 3 维空间中有：

线性无关（Linearly independent）

有 Linearly dependent ，就有 Linearly independent ，意味着新增的 vector 不在原 span 上，即给原来的 span增加了一个维度。

相关文章

• 向量是什么——线性代数本质（一）

参考：

• Linear combinations, span, and basis vectors | Essence of linear algebra, chapter 2

• 使用 Python 來認識向量