Time Series Shapelets: A New Primitive for Data Mining
对于时序数据，提出了一种新的特征，名为shapelet。
shapelet其实就是一段时序数据的子序列，能够很好的把不同的类别区分开来。
文中举了个例子，把树叶的外观轮廓描述到一维，作为时序数据来进行树叶的分类。
如上图所示，将叶子映射到一维后的时序数据的子序列与shapelet比较，并且选定一个阈值，通过一个简单的决策树模型可以完成分类。即如果叶子的数据有一段子序列和shapelet的距离小于阈值5.1，分为第一类；否则，分为第二类。
shapelet的优势在于：
·提供了可解释性。
·在一些数据集上，shapelet更加accurate和robust。大多数的分类器考虑的是全局特征，对于noise比较敏感。而shapelet是一个局部特征，更加的robust。
·用shapelet分类更快。
文中给出了一系列的定义，
数据点t1,...tm按时间顺序排列，并且间隔的时间跨度一样。
提取shapelet需要抽取特定长度的所有子序列，这可以用一个滑动窗口来实现。
S的上标表示子序列的长度，下标表示滑动窗口的起始位置。
需要定义一个距离函数来衡量两个序列之间的距离. Dist函数输入两个长度相等的时间序列，返回一个非负整数，并且距离的度量是对称的。(可以使用欧式距离，即对每一个时间点上的两个点求距离，再对所有点的距离求和)
定义一个函数来衡量不同长度的序列。其实就是找短序列和长序列在最佳匹配位置时的距离。如下图所示。
以二分类为例，接下来需要定义一个度量来评价把数据集划分成两类的准确程度。
上面给出了信息熵和信息增益的定义。
使用序列到shapelet的距离作为划分标准。shapelet是时间序列的一个子序列，使得数据集中一部分对象在subsequenceDist上和shapelet很接近，另一部分距离很远。
要找到最佳的shapelet，需要尝试很多候选shapelet。给出一个候选的shapelet，计算其与数据集中所有对象的距离。根据距离对这些对象进行排序，并找到一个最优的划分点。
上面给出了最优划分点(OSP)的定义。给定一个阈值d，把数据集中的对象划分成两部分，一部分距离shapelet的距离小于阈值d，另一部分大于等于阈值d。OSP是能够取得最大增益的阈值。
需要注意的是，使用shapelet进行划分包含了两部分：1.最优shapelet。2.对应的最优划分点。
最后给出了shapelet的定义，即用shapelet和它的最优划分点，能够最好的把数据集划分开来。
对于一个数据集，shapelet的长度必须小于等于数据集中最短的时序序列的长度。
FINDING THE SHAPELET
Brute-Force Algorithm
使用暴力法来找shapelet。(MAXLEN和MINLEN分别是指定的shapelet的最大长度和最小长度)
给定一个数据集D，D中的时序对象带有label A或B。Line1生成所有可能的候选子序列，bsf_gain表示最佳信息增益，计算所有候选子序列的最佳信息增益。
在GenerateCandidates()函数中，使用一个滑动窗口来生成所有的候选子序列，最后返回的是所有候选子序列的集合。
计算数据集中每个时序序列到候选shapelet的距离，并按照距离放入objects_histogram中。最后调用CalculateInformationGain来评价候选shapelet的好坏。
Line1找到最优划分点，之后根据最优划分点将数据集划分为两部分，最后计算这次划分的信息增益。
以前面的figure 6为例，直线上的所有点都可以作为候选的切分点，也就是有infinite种候选选择。为了减小搜索空间，只选择每一对临近点的中间点作为一个可能的划分点(在两个临近点直接选择任意的划分点，信息增益都是一样的)，并且这种方式最大化了两个子集之间的margin。
然而暴力法需要存储所有可能的候选子序列，效率很低，并且时间复杂度也非常大。
Subsequence Distance Early Abandon
再计算候选shapelet和数据集中某一条时间序列的距离时，不需要把完整的距离计算出来。如果当前的距离已经超过了现有的最短距离，可以直接abandon。
Admissible Entropy Pruning
在暴力算法中，计算候选shapelet和每一个时序对象最近匹配的子序列占了大多数的时间，相比较而言信息增益的计算时间就比较少了。
基于这一点，可以根据当前已有的结果计算信息增益的upper bound，而不是等待候选shapelet和每个时序对象的距离计算完毕。如果在搜索过程中的任意时间点，upper bound不能超过当前最好的信息增益，则停止距离计算，并剪枝掉这个候选shapelet。
上图举了一个例子，元素的位置表示其距离候选shapelet的距离。红线代表划分点，信息增益的计算如上所示。
如上图，考虑另一个候选shapelet，数据集中的五个对象和候选shapelet的距离已经计算完成，并表示在图上。考虑剩下的点如何排放，可不可能获得比当前更好的信息增益？
考虑两种极端情况，蓝色的元素全部在最左边，红色的元素全部在最右边；或者是蓝色的元素全部在最右边，红色的元素全部在最左边。(上图表示第一种情况)
计算两种极端情况下的信息增益，上图的假设方式信息增益为
低于当前最优的信息增益。因此，这个时候可以停止对于剩下对象的距离计算，剪枝掉这个候选shapelet。
具体的pipeline流程如上所示，输入best-so-far信息增益bsf_gain，当前已经计算的数据集中的时序对象到候选shapelet的距离，以及剩下的时序对象cA和cB。如果可以剪枝，则函数返回TRUE。
为了简便，坐标轴上的最小距离minend设为0，最大距离maxend设为dist_hist+1。(作为两个极端边界，之后把剩下的元素放在这两边)
一轮询方式的计算序列(a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...)，可以更快的确定当前候选shapelet能否beat the best so far。
如果有多个候选shapelets增益相等，可以使用几种方法来选出一个：1.选择最长的。2.选择最短的。3.选择对于两类margin最大的。
SHAPELETS FOR CLASSIFICATION
可以通过决策树，用shapelet来分类。