闭集、可分性、列紧性

闭集

定义9： 设是一个距离空间，，若，则称为的闭包点（或接触点）。

定义10： 设是一个距离空间，，的接触点（闭包点）的全体称为的闭包，记为。

定义11：设是一个距离空间，，是闭集当且仅当 。

注：闭集可以理解为：在闭集里极限运算是封闭的。

下确界：一个集合的最大下界；上确界：一个集合的最小上界。

可分的距离空间

背景知识：实数空间中，有理数是稠密的，有理数是可数的。也就是说任何一个实数可以用有理数来逼近。

推广到一般的空间上去

定义14：设，是距离空间中的点集，如果，则称在中稠密。
注意：定义中并没有要求。

也就是说中的每一点都可以用中的点来逼近。逼近是个极限的概念，逼近的意思是无限接近（要多近就有多近）但永远不会相等。

定义17：（可分距离空间）设是距离空间，如果中存在一个可数稠密子集，则称是可分的。

注1：可分空间中的任意一点可通过一个可数集来近似逼近，并且对于。

注2：距离空间是否可分，与空间上距离的定义密切相关。距离定义不同，实际逼近效果不同。

列紧的距离空间

在数学分析中，闭区间上的连续函数有着很好的性质。

• 闭区间满足有限覆盖定理。
• 进一步地，平面上的有界闭集也有这样的性质。
• 我们把具有这样性质的集合，抽象为紧集（紧空间）。

定义23：设是距离空间中的一个子集，如果中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列，则称为是列紧的集合，闭的列紧集称为是自列紧集。距离空间称为是列紧的。

注1：自列紧集是有界闭集。

注2：在一般的距离空间中，有界的闭集不一定是列紧的

定理24：中的子集是列紧的当且仅当中的函数(函数一般强调是函数值，映射以后的值)是一致有界和等度连续的。