旋转矩阵李代数的推导

1.推出反对称矩阵

有 旋转矩阵 ：

这一步的结论就是： 为一个反对称矩阵。

2.推出微分方程

反对称矩阵 与 一个 三维向量 有一一对应的关系:

将其关系表示为:

反对称矩阵 可表示为： ， 是一个三维向量。

得到一个微分方程 。

3.解微分方程

解此微分方程前需做如下假设：

• t=0 时刻，；
• t=0 时刻附近， 为常数 ；

则在 t=0 时刻附近，上式变为：

微分方程知识:

上式微分方程结果：

这一步的结果是得到这样一个表达式：

4.完成推导

现在将 视作一个常量：

• 总是一个旋转矩阵，直接写作 ；
• 依然是一个反对称矩阵，写作

则有最终的形态：

其中：

• 矩阵 是 特殊正交群 中的元素；
• 向量 是其对应的 李代数 中的元素；
• 和 通过上述公式产生了一一对应的联系；

5. 如何由 计算

将 展开计算，可得：

最后的结果又叫：罗德里格斯公式 (Rodrigues’s Formula)

其中：

• 向量 是 的单位方向向量；
• 标量 是 的模长。

6. 如何由 计算

推导略，给结果，将 的计算分解为 的计算：

7. 与旋转向量

旋转矩阵 的李代数向量 实际上就是 对应的 旋转向量：

• 旋转轴为
• 旋转角度为