平面最近点对的分治算法

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最接近点对问题   转自

参考解答

    这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n²)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到，该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。

    这个问题显然满足分治法的第一个和第二个适用条件，我们考虑将所给的平面上n个点的集合S分成2个子集S₁和S₂，每个子集中约有n/2个点，·然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S₁和S₂的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S₁和S₂的最接近点对未必就是S的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S₁中或都在S₂中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S₁和S₂中，则对于S₁中任一点p，S₂中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n²/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O(n²)。整个算法所需计算时间T(n)应满足:　

T(n)=2T(n/2)+O(n²)

    它的解为T(n)=O(n²)，即与合并步骤的耗时同阶，显示不出比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法，我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤上。

    为了使问题易于理解和分析，我们先来考虑一维的情形。此时S中的n个点退化为x轴上的n个实数x₁,x₂,..,x_n。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x₁,x₂,..,x_n排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算时间花在排序上，因此如在排序算法中所证明的，耗时为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。

    假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S₁和S₂，使得S₁={x∈S|x≤m}；S₂={x∈S|x>m}。这样一来，对于所有p∈S₁和q∈S₂有p<q。

    递归地在S₁和S₂上找出其最接近点对{p₁,p₂}和{q₁,q₂}，并设δ=min{|p₁-p₂|,|q₁-q₂|}，S中的最接近点对或者是{p₁,p₂}，或者是{q₁,q₂}，或者是某个{p₃,q₃}，其中p₃∈S₁且q₃∈S₂。如图1所示。

　

图1 一维情形的分治法

    我们注意到，如果S的最接近点对是{p₃,q₃}，即|p₃-q₃|<δ，则p₃和q₃两者与m的距离不超过δ，即|p₃-m|<δ，|q₃-m|<δ，也就是说，p₃∈(m-δ,m]，q₃∈(m,m+δ]。由于在S₁中，每个长度为δ的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于δ），并且m是S₁和S₂的分割点，因此(m-δ,m]中至多包含S中的一个点。同理，(m,m+δ]中也至多包含S中的一个点。由图1可以看出，如果(m-δ,m]中有S中的点，则此点就是S₁中最大点。同理，如果(m,m+δ]中有S中的点，则此点就是S₂中最小点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-δ,m]和(m,m+δ]中所有点，即p₃和q₃。从而我们用线性时间就可以将S₁的解和S₂的解合并成为S的解。也就是说，按这种分治策略，合并步可在O(n)时间内完成。这样是否就可以得到一个有效的算法了呢？还有一个问题需要认真考虑，即分割点m的选取，及S₁和S₂的划分。选取分割点m的一个基本要求是由此导出集合S的一个线性分割，即S=S₁∪S₂ ，S₁∩S₂⁼Φ，且S₁{x|x≤m}；S₂{x|x>m}。容易看出，如果选取m=[max(S)+min(S)]/2，可以满足线性分割的要求。选取分割点后，再用O(n)时间即可将S划分成S₁={x∈S|x≤m}和S₂={x∈S|x>m}。然而，这样选取分割点m，有可能造成划分出的子集S₁和S₂的不平衡。例如在最坏情况下，|S₁|=1，|S₂|=n-1，由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n)应满足递归方程:

   T(n)=T(n-1)+O(n)

    它的解是T(n)=O(n²)。这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。也就是说，我们可以通过适当选择分割点m，使S₁和S₂中有大致相等个数的点。自然地，我们会想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点。在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n)时间内确定一个平衡的分割点m。

    至此，我们可以设计出一个求一维点集S中最接近点对的距离的算法CPAIR1如下。

function CPAIR1(S);
begin
  if |S|=2 then δ=|x[2]-x[1]| // x[1..n]存放的是S中n个点的坐标
           else if (|S|=1) 

                   then δ:=∞
                   else begin
                          m:=S中各点的坐标值的中位数;
                          构造S1和S2,使S1={x∈S|x≤m}，S2={x∈S|x>m};
                          δ1:=CPAIRI(S1);
                          δ2:=CPAIRI(S2);
                           p:=max(S1);
                           q:=min(S2);
                          δ:=min(δ1,δ2,q-p);
                        end;
  return(δ);
end;

    由以上的分析可知，该算法的分割步骤和合并步骤总共耗时O(n)。因此，算法耗费的计算时间T(n)满足递归方程：

    解此递归方程可得T(n)=O(nlogn)。

    这个算法看上去比用排序加扫描的算法复杂，然而这个算法可以向二维推广。

    下面我们来考虑二维的情形。此时S中的点为平面上的点，它们都有2个坐标值x和y。为了将平面上点集S线性分割为大小大致相等的2个子集S₁和S₂，我们选取一垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S₁={p∈S|p_x≤m}和S₂={p∈S|p_x>m}。从而使S₁和S₂分别位于直线l的左侧和右侧，且S=S₁∪S₂ 。由于m是S中各点x坐标值的中位数，因此S₁和S₂中的点数大致相等。

    递归地在S₁和S₂上解最接近点对问题，我们分别得到S₁和S₂中的最小距离δ₁和δ₂。现设δ=min(δ₁,δ₁)。若S的最接近点对(p,q)之间的距离d(p,q)<δ则p和q必分属于S₁和S₂。不妨设p∈S₁，q∈S₂。那么p和q距直线l的距离均小于δ。因此，我们若用P₁和P₂分别表示直线l的左边和右边的宽为δ的2个垂直长条，则p∈S₁，q∈S₂，如图2所示。

图2 距直线l的距离小于δ的所有点

    在一维的情形，距分割点距离为δ的2个区间(m-δ,m](m,m+δ]中最多各有S中一个点。因而这2点成为唯一的末检查过的最接近点对候选者。二维的情形则要复杂些，此时，P₁中所有点与P₂中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏情况下有n²/4对这样的候选者。但是P₁和P₂中的点具有以下的稀疏性质，它使我们不必检查所有这n²/4对候选者。考虑P₁中任意一点p,它若与P₂中的点q构成最接近点对的候选者，则必有d(p,q)<δ。满足这个条件的P₂中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个δ×2δ的矩形R中，如图3所示。

图3 包含点q的δ×2δ的矩形R

由δ的意义可知P₂中任何2个S中的点的距离都不小于δ。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上，我们可以将矩形R的长为2δ的边3等分，将它的长为δ的边2等分，由此导出6个（δ/2）×（2δ/3）的矩形。如图4(a)所示。

图4 矩形R中点的稀疏性

    若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个δ×2δ的小矩形中有2个以上S中的点。设u,v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则

    因此d(u,v)≤5δ/6<δ 。这与δ的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。图4(b)是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。由于这种稀疏性质，对于P₁中任一点p，P₂中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6×n/2=3n对候选者，而不是n²/4对候选者。这是否就意味着我们可以在O(n)时间内完成分治法的合并步骤呢？现在还不能作出这个结论，因为我们只知道对于P₁中每个S₁中的点p最多只需要检查P₂中的6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和P₂中所有S₂的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S₂中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于δ。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P₁和P₂中所有S的点按其y坐标排好序，则对P₁中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对P₁中每一点最多只要检查P₂中排好序的相继6个点。

    至此，我们可以给出用分治法求二维最接近点对的算法CPAIR2如下:

function CPAIR2(S);
begin
  if |S|=2 then δ:=S中这2点的距离
     else if |S|=0 

           then δ:=∞
           else begin
                 1.  m:=S中各点x坐标值的中位数;
                     构造S1和S2，使S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>m}
                 2.  δ1:=CPAIR2(S1);δ2:=CPAIR2(S2);
                 3.  δm:=min(δ1,δ2);
                 4.  设P1是S1中距垂直分割线l的距离在δm之内的所有点组成的集合，
                     P2是S2中距分割线l的距离在δm之内所有点组成的集合。将P1和

                     P2中的点依其y坐标值从小到大排序，并设P1*和P2*是相应的已排

                     好序的点列;
                 5.  通过扫描P1*以及对于P1*中每个点检查P2*中与其距离在δm之内的
                     所有点(最多6个)可以完成合并。当P1*中的扫描指针逐次向上移动
                     时，P2*中的扫描指针可在宽为2δm的一个区间内移动。设δl是按
                     这种扫描方式找到的点对间的最小距离;
                 6.  δ=min(δm,δl);
               end;
  return(δ);
end;

    下面我们来分析一下算法CPAIR2的计算复杂性。设对于n个点的平面点集S，算法耗时T(n)。算法的第1步和第5步用了O(n)时间，第3步和第6步用了常数时间，第2步用了2T(n/2)时间。若在每次执行第4步时进行排序，则在最坏情况下第4步要用O(nlogn)时间。这不符合我们的要求。因此，在这里我们要作一个技术上的处理。我们采用设计算法时常用的预排序技术，即在使用分治法之前，预先将S中n个点依其y坐标值排好序，设排好序的点列为P^*。在执行分治法的第4步时，只要对P^*作一次线性扫描，即可抽取出我们所需要的排好序的点列P₁^*和P₂^*。然后，在第5步中再对P₁^*作一次线性扫描，即可求得δ_l。因此，第4步和第5步的两遍扫描合在一起只要用O(n)时间。这样一来，经过预排序处理后的算法CPAIR2所需的计算时间T(n)满足递归方程：

    显而易见T(n)=O(nlogn)，预排序所需的计算时间为O(n1ogn)。因此，整个算法所需的计算时间为O(nlogn)。在渐近的意义下，此算法已是最优的了。

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