很多文章在讲PrefixSpan的时候，不注重基础概念的描述，而只是在乎算法的流程，这样会使得只是照葫芦画瓢，又或者对算法流程某些局部的地方存疑。所以这里重点讲解算法涉及到的所有概念，并且给出经典的Projection过程和理解。
引言：
首先要理解什么是序列模式挖掘问题，然后要清楚算法引出的一些概念前缀、投影、后缀，最后才是整个算法如何通过定义出来的东西来对问题进行求解。并且在这之后会有一些优化。
而PrefixSpan是解决序列模式挖掘问题的，对于这个问题，已经有各种Apriori-based解法，最经典的就是GSP。并且还有不是Apriori-based的FreeSpan。后者虽然比Apriori-based算法会更加快速，但是效率仍旧不是很好，并且在极端的情况下表现力很差。为了能方便之后阅读论文，这里给出的概念定义的语言遵从论文，并且部分给出论文的正文。
序列模式挖掘问题：
基础概念：
给定一个a set of sequences。其中每一个sequence 是 a list of elements 并且 每一个 element 是 a set of items。
| Sequence_id | Sequence |
|---|---|
| 10 | |
| 20 | <(ad)c(bc)(ae)> |
| 30 | <(ef)(ab)(df)cb> |
| 40 |
a set of sequences ：就是上面这个表，也就是要处理的数据。
sequence (a list of elements) ：就是
element (a set of items) ：就是如同a或者是(abc)或者是(ac)...其中element的长度为1的话比如a。其实应该是（a）可以简写成a。
item：就是最小的单元，比如(abc)中的a或者b或者c。又或者是第一个element （a）中的a。
并且可以发现的是 sequence是一个elements的列表，这个是有顺序概念的，而element是一个items的集合，这个是无序的概念的。也就是说一个element中的item顺序不同，但是里面的东西都一样，那么其实是等价的。这个就给之后的标准表示给出了正确性的证据。
对于
原文：
The number of instances of items in a sequence is called the length of the sequence. A sequence with length l is called an l-sequence.
并且定义子序列（subsequence）和 超序列（父序列，super sequence）的概念：
是的subsequence 存在 使得
此时也可以说 是 的super sequence。
（说白了，就是能在上从前往后找依次找出对应的每个element的超集）
这个时候咱们就可以记为：。
为了能够让问题描述更加科学，咱们定义怎么形容 a set of sequences。叫做 sequence database S。上面那张表就是一个sequence database。一个sequence database 由一项项 <序列ID,序列> 元组(tuple)组成。明显元组之间是无序的。再定义一个sequence 被S包含 就是指 S中某个sequence 是 的super sequence。此时就能引入支持度(support)，是指S中有多少个sequence 是 的super sequence。
在一边定义概念的时候，其实一边已经在把问题描述得很清楚了。
此时只要对支持度设置一个阈值(support threshold) 。
那么序列模式挖掘问题就是在一个sequence database S 中找出所有支持度满足 的subsequences 。并且叫这些subsequences 为 序列模式 （频繁序列模式(frequent)sequential pattern）。同时，可以像对sequence设置长度的概念一样对这些sequential pattern设置长度以里面有多少个item（不是element）可以记为 l-pattern。
小结：
理解概念：
a set of sequences
sequence
a list of elements
element
a set of items
set/list order problem
item
l-sequence
subsequence (super sequence)
sequence database
support
support threshold
(frequent) sequential pattern
the problem of sequential patterns mining
那么引入主角PrefixSpan算法：
1：Sequence的表示。
在上面的时候就讲清楚了，element里面的item的顺序是不会影响结果的。所以就规定按照字典序排列（如果是其他数据类型就按照其他的规则排序）。
2：引入概念：前缀(prefix)、投影(projection)、后缀(postfix)。
前缀：
is called a prefix of
(1)
(2)
(3)all items in are alphabetically after those in
投影：
其中是的子串。也就是 。一个的子串叫的投影 wrt prefix
（1）是的前缀
（2）不存在的父串 是的子串的同时有前缀
理解什么是投影。
=
=
明显是的子串。
构造是的子串。并且以为前缀。
=
=
=
=
=
...
要满足（2）。条件（2）相当于在上面的备选集中找出了
明显只有才可以。
可以发现的是投影其实就是以为前缀。并且尽可能保留的元素。（从中找有的前缀开始后面一直保留下来，这里有两个点，1：一旦找到前缀就 2：一直保留到最后，在上述例子中情况1没有体现，其实就是有可能里面有两个地方能和子串匹配，那么我们找第一个匹配到的地方。）
后缀：
让是的投影 wrt prefix
是的后缀 wrt prefix
表示为.
其中
特殊地，当不是的子串的时候。投影和后缀都是空的。
举例子：
前缀：
但是
后缀：
<(abc)(ac)d(cf)>是自身的后缀 wrt prefix
<(_bc)(ac)d(cf)>是<(abc)(ac)d(cf)>的后缀 wrt prefix
<(_c)(ac)d(cf)>是<(abc)(ac)d(cf)>的后缀 wrt prefix
由于这个第三条可以知道。prefix
其实前缀和后缀的自然连接是投影。也就是说我们之后对于一个原串，并不是说讲其拆分成前缀和后缀。而是说前缀只要是原串的子串，咱们找出投影，然后投影-前缀就是后缀了。（所以在论文上面 原串，后缀，前缀关系用的符号是用 / 和 乘 也就是上面的和，并不是单纯的自然连接）
同样和前面部分介绍问题一样，一旦概念清楚了，其实算法自然就出来了。
算法流程很简单：
假设有了sequence databse S 以及 阈值
S就用论文上面的。
| Sequence_id | Sequence |
|---|---|
| 10 | |
| 20 | <(ad)c(bc)(ae)> |
| 30 | <(ef)(ab)(df)cb> |
| 40 |
1：
计算1-sequence pattern。其实就是扫一遍sequence database。统计每个item的支持度然后挑出来大于等于阈值的即可。可以找到的是:4 , :4 ,
2:
考虑将之后的其他的sequence pattern解划分为分别以上述的6个为前缀。
（注意了，这个前缀指的是之后的sequence pattern的前缀，而不是原串的前缀，只要是原串的子串就行了，其实就算不是原串的子串，那么投影后的后缀就是一个空的而已。也就是上面说的特殊情况。）
（1）那些有前缀的sequence pattern
（2）那些有前缀的sequence pattern
（3）那些有前缀
。。。
明显这个操作是完备的，不会丢失答案的。
但是具体到sequence database S上又是什么样的呢？
其实一开始的前缀，投影，后缀就给出了部分答案。
其实就是分别根据前缀或者或者
（深刻理解这一步！要深刻理解什么是前缀 什么是投影 什么是后缀，最好多写几个例子。最后后面会解释什么叫做修改后的后缀，以及为什么是这样的。）
具体例子：
处理两个序列：
我们在假设在上面的sequence database S中找到了1-sequential pattern 了。（其他就先不管了。）
用前缀来做投影：
所以投影就是 <(a)(abc)(d)(bc)(e)>，而后缀是<(abc)(d)(bc)(e)>。
并且修改后的后缀也还是<(abc)(d)(bc)(e)>。
<(ef)(ab)(df)cb> 写成 <(ef)(ab)(df)(c)(b)> 。 子串型匹配前缀。 直到匹配到第两个element(ab)才有前缀。（注意我的描述，子串型匹配是怎么匹配的就不赘述了。我说的是 匹配直到第二个。）
所以投影就是 <(ab)(df)cb>。而后缀是<(b)(df)cb>
而修改后的后缀为<(_b)(df)cb>。其中(b)是指这个element，是以我们投影的前缀最后一项来开始的，也就是说指代前缀的最后一个element中的item们。比如这里就是item a。
如果说对< a(abcdefg) > 做前缀为
并且论文中有注释：
if is not empty, the postfix is also denoted as < (_ items in ) >
为什么修改后的后缀是这样的呢？
因为这样的话，(ef)(ab)(df)cb 中 (ab)这样的就不会丢失统计了，而且(ab)和ab是不一样的。
（其实我个人认为还有更好理解的方法，先讲完论文的流程，再提我想出来的流程。）
3：
递归求解即可。
第一次找出1-sequence pattern。并且根据这个为前缀来划分sequence pattern。其实就是做投影，取修改后的后缀。在新的sequence database上面找 2-sequence pattern的。
这个时候要分两类，一类是 (前缀的最后一个element的items +item）为一个element。一类是（前缀的最后一个element的items）（item）不为一个element。因为找（length+1） - sequential pattern 其实就是找这两类，并且这样是完备的（以是不是同一个element来划分）。
注意这里的查找并不是看起来那么简单的。
第一类：前缀的最后一个element的items 和item在同一个element下面。
我们在修改后的后缀中，比如前缀是 。有一个修改后的后缀是<(_bc)(abc)(ab)>
明确我们的目的：
我们的目的是在原串上<(abc)(af)(ab)>中找到长度为2，并且前缀是这样的模式串，可能会有的模式串，应该是
回到上面来，我们已经有了前缀是 以及 < (_bc)(abc)(ab)>。
所以我们要在修改后的后缀中并且配合前缀找出上面说的（ab）、(ac)、(af) 这三个模式串。（在别的地方是找不到了的。）
所以要对每一个element做前缀（严谨一点，应该是前缀的最后一个element）子串匹配。
第一个element是特殊的。（_bc）。只要数一数。有_b 有_c 加入前缀也就是 (ab)、(ac)。
第二个element（abc）。做前缀最后一个element(这里就一个a)做子串匹配。(ab)、（ac）。
第三个element (ab)。 就不用说了。
上面的例子不是很刺激，下面来一个刺激一点的。
一个序列是
前缀是
咱们找投影
获得的修改后的后缀是<(_gyz)(abeg)>
对于第一个element (_gyz)。我们可以有 (_g)、 (_y)、 (_z)。
对于第二个element (abeg) 。子串匹配前缀中最后一个element的item 为e。所以（eg）。
前缀是
根据上面说的投影是
获得的修改后的后缀是<(_fh)(ag)z(aegyz)(abeg)>。
前缀最后一个element中的items是ae所以
对于第一个element(_fh)。我们可以有(_f)、（_h）。
对于第二个element(ag)。找不到e所以没有。
对于第三个element(z)。不行。
对于第四个element(aegyz)。有 (aeg) (aey) (aez)。
对于第五个element(abeg)。 有(aeg)。 （连这都是有的哦。子串匹配！）
以上正确性的保证：为啥前缀的最后一个element的items是这样的子串匹配呢？（而不是按照顺序严格匹配下来。又或者XX）
因为我们要找的是只要 前缀 + 一个item 是 原来串的子串 就行了。
第二类：（前缀的最后一个element的items）（item）不为一个element。
这个其实很简单。
如果说修改后的后缀的第一个element 是_开头的。那么就不用管第一个element。
否则就直接对每个element枚举一个item。统计就好了
总之我觉得可以规约一下：
用函数编程的思想来解释：
先写一个函数，传入前缀。
在函数主体中按照上面的规则来查找。并且返回找到的item 和 传入的前缀组合成新的前缀。并且返回这些前缀。
记这个函数为find
然后在外面写一个函数来递归就行了。
void func(前缀 A)
调用A = find（A）。获得新的一批sequential pattern 设置为前缀A。
如果A为空就返回。
计入答案中 ANS.add(A)。
递归调用 func(A)
写完函数。调用func({}).一开始前缀为空即可。
这样这个算法就基本上完事了。还有一些优化bi-level projection .pseudo-projection就晚点说。好了。
子串匹配。
字符串
a = "abcdefghijklmn"
b = "aln"
b的元素依次在a上出现了。并且匹配到a的最后一个n上。
a = "ababcdceg"
b = "abc"
b的元素依次在a上出现了。并且最早匹配，匹配完的是a串中的第一个c的位置。
这个就是子串匹配。
需要理解的概念：
前缀（prefix)
投影（projection）
后缀（postfix）
前缀和后缀和原串的关系。
前缀和后缀和投影的关系。
前缀的最后一个element的items。
修改后的后缀。
如何在修改后的后缀中找两类情况。